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intégrale impropre et séries

Posté par Puck (invité) 27-12-06 à 12:13

Bonjour à tous,

Voilà j'aurais besoin d'aide pour cet exercice...

Merci d'avance et joyeuses fêtes

Soit n,  fn(x)=\frac{x^n \times ln(x)}{x^2-1}

On admet que \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}


1)Montrer que a1 = \int_0^{1} (f_{0}(x)-f_{2}(x)) dx existe et la calculer

2)En déduire que l'intégrale impropre I = \int_0^{1} (f_{0}(x)) dx converge

3)Pour n2, calculer an = \int_0^{1} (f_{2n-2}(x)-f_{2n}(x)) dx

4)Montrer que la série \sum_{n=1}^\infty a_{n} est convergente

édit Océane : niveau renseigné

Posté par
raymond Correcteurintégrale impropre et séries 27-12-06 à 12:23

Bonjour.

1) Calcule f0(x) - f2(x), tu verras une belle simplification.
3) Fais de même pour f2n-2(x) - f2n(x), puis, intègre par parties.
Sauf erreur de calcul, je trouve :

2$\textrm a_n = \frac{1}{(2n-1)^2}

A plus RR.


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