BONJOUR A TOUS

on pose Un(f) = _{[nπ;(n+1)π]} f(t)sin²(t) dt. avec f une fonction continue décroissante f ≥ 0 définie sur [0;+∞[.

1) montrer que

(π/2)f((n+1)π)≤ Un(f) ≤(π/2)f(nπ) .

on a

nπ≤ t ≤(n+1)π

comme f est décroissante on a

f((n+1)π) ≤ f(t) ≤ f(nπ)

or nous savons que f ≥ o
donc

o ≤ f((n+1)π) ≤ f(t) ≤ f(nπ)                          (1)

de plus 0 ≤ sin^2(t) ≤ 1  donc sin^2(t) ≥ 0

si on multiplie l'inégalité (1) par sin^2(t) qui est positif on obtient

o ≤ f((n+1)π)*sin^2(t) ≤ f(t)sin^2(t) ≤ f(nπ)*sin^2(t)

donc :

f((n+1)π)*sin^2(t) ≤ f(t)sin^2(t) ≤ f(nπ)*sin^2(t)

en intégrant sur [nπ ; (n+1)π] on a :

f((n+1)π)sin²(t) dt ≤ Un(t) ≤ f(nπ)sin²t dt . ( f((n+1)π) et f(nπ) sont des constantes ici  )

remarquons que :

sin^2(t)= 1/2 cos(2t) -1/2

une primitive sur sin^2(t) est donc 1/4sin(2t) -1/2t + C  (ici C est une constance elle ne nous servira pas on va donc la négliger )

en intégrant sur [nπ; (n+1)π] on a donc

sin²t dt = (1/2cos(2t)-1/2) dt= 1/4(sin(2(n+1)π)) - ((n+1)π)/2 - 1/4sin(2nπ) + (nπ)/2 = - ((n+1)π)/2  + (nπ)/2 = π/2.

car (sin(2(n+1)π)) est de la forme sin(2kπ) et sin(2kπ)=0 de même pour sin(2nπ) .

donc :
sur [nπ ; (n+1)π]
sin²t dt = π/2

donc
f((n+1)π)sin²(t) dt =π/2 f((n+1)π)

et donc :

f(nπ)sin²(t) dt =π/2 f(nπ)

en conclusion :

π/2 f((n+1)π) ≤ Un(f) ≤ π/2 f(nπ).


2) en déduire que la fonction f(t)sin^2(t) est intégrable sur [0;+∞[ si est seulement si la série de terme général f(nπ) converge

on a : Un(f) ≤π/2 f(nπ)
nous savons par définition que
_[0;+∞[f(t)sin^2(t)dt=_{0≤k≤n  [Xn;Xn+1]}  f(t)sin^2(t)dt

avec Xn=nπ  ici !  Xn est une suite croissante même strictement croissante car Xⁿ⁺¹ - Xn =π et π>o et quand x tend vers +∞ Xn tend vers +∞
on a donc :

_[0;+∞[f(t)sin^2(t)dt = _{0≤k≤n  [nπ;(n+1)π]}  f(t)sin^2(t)dt

comme :
Un(f) ≤ π/2 f(nπ)
en sommant l'inégalité
^0≤k≤nUn(f) ≤ π/2 _0≤k≤n f(πn)

donc :

_[0;+∞[f(t)sin^2(t)dt ≤  π/2 _0≤k≤n f(πn).

d'après cette encadrement f(t)sin^2(t) est integrable sur [o;+∞[ si est selement si π/2 _0≤k≤n f(πn) converge

donc que _0≤k≤n f(πn). converge

3) pour quel valeur du paramètre >O l'integrale impropre définie sur  [0;+∞[ converge t-elle ?

(t/(1+t))sin²(t) dt


voila je bloque à cette question  je pense qu'il faut choisir f comme la fonction f(t)=1/(1+t) verifié quelle est toujours positive ce qui est vrai
et la dérivé ensuite en fonction du parametre est discuter suivant les valeur de si la dérivé est négative alors f est décroissante donc l'intégrale convergera


MERCI DE VOTRE AIDE , je bloque  si vous pouvez vérifié mon raisonnement pour les 2 premieres question merci

j'attends vos remarques