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Intégrale multiples

Posté par
Mathes1 14-05-23 à 22:29

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
A] Considérons un cercle (C) de rayon 1 et une rosace à trois branches d'équation polaire : r=sin(3) .
1) Calculer l'aire intérieure à la rosace
2) En déduire l'aire du domaine intérieur au cercle (C) et extérieur à la rosace
Intégrale multiples
1) l'aire du rosace est :
(R)=3\int_{}^{}(\int_{0}^{sin(3\theta)} rdr )d\theta=3\int_{}^{}\left[ \dfrac{r²}{2}\right]_{0}^{sin(3\theta)} d\theta=\dfrac{3}{2}\int_{}^{}sin²(3\theta) d\theta=
\dfrac{3}{2} \int_{}^{}\dfrac{1-cos(6\theta)}{2} d\theta =\dfrac{3}{4}\int (1-cos(6\theta)) d\theta =\dfrac{3}{4}\left[\theta-\dfrac{sin(6\theta}{\theta} \right]
Je ne sais pas comment trouver les bornes de theta
2) une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
B] Calculer le volume du domaine
D={(x,y,z):x?0,y?0,z?5,x-y+z?1 et x2+y2?4}

(D)=\int_{0}^{2}(\int_{0}^{\sqrt{4-x²}}(\int_{1-x+y}^{5} dz ) dy) dx
Merci beaucoup

* Modération > balises Latex manquantes complétées. Faire "Aperçu" avant de poster *

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Intégrale multiples 15-05-23 à 07:51

Bonjour,
Pour les bornes, elles doivent correspondre à un intervalle d'amplitude .
Vois-tu pourquoi ?
Pour 2), l'aire du disque permet de conclure sans calculer d'autre intégrale.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Intégrale multiples 15-05-23 à 08:00

Peux-tu reécrire l'expression de D dans B) ?
Les symboles d'inégalité ont sauté quand j'ai modifié ton message.
Pour "", utilise le bouton "".

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Intégrale multiples 15-05-23 à 08:42

Je ne vais plus être disponible avant la fin d'après midi.

Posté par
Mathes1re : Intégrale multiples 15-05-23 à 09:55

Bonjour

Citation :
B] Calculer le volume du domaine
D={(x,y,z):x0,y0,z5,x-y+z1 et x2+y24}

A) 1) pour r c'est : 0rsin(3)
Et [0,/3]

Est ce que le volume du domaine D est juste
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Intégrale multiples 16-05-23 à 12:20

Bonjour,

Oui pour le domaine d'intégration par rapport à \theta dans ton calcul du premier exercice.

Pour l'autre, ça me paraît correct, mais personnellement je passerais en coordonnées cylindriques.

Posté par
Mathes1re : Intégrale multiples 16-05-23 à 22:30

Bonjour
Donc pour A-1)
(R)=/4
2) l'aire du domaine intérieur au cercle (C) et extérieur à la rosace
Est 3*/4
B)
\mu(D)=\int_{0}^{2}\left( 4\sqrt{4-x^2}+x\sqrt{4-x^2}-\dfrac{4-x^2}{2}\right)dx=\int_{0}^{2}\left( 4\sqrt{4-x^2}\right)dx-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}-2x\sqrt{4-x^2}dx-\left[ \dfrac{4x-\dfrac{x^3}{3}}{2}\right]_{0}^{2}
=\int_{0}^{2}\left( 4\sqrt{4-x^2}\right) dx
On pose x=2cos
dx=-2sind
donc (D)=16\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1-cos(2\theta)}{2} d\theta=16\left[ \theta-\dfrac{sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=8\dfrac{\pi}{2}=4\pi
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Intégrale multiples 16-05-23 à 23:08

Les résultats sont corrects.

Pour la seconde, c'est  plus simple de calculer, après l'intégration en z

\mu(D)= \int_0^2 r dr \int_0^{\pi/2} (4+r \cos t -r \sin t ) dt

Posté par
Mathes1re : Intégrale multiples 17-05-23 à 15:00

Bonjour
Oui c'est vrai c'est plus rapide
0≤r≤2 et 0≤≤/2 et 5≤z≤1-x+y
On trouve rapidement (D)=4
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Intégrale multiples 17-05-23 à 23:07

De rien


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