Bonjour,

Je ne suis pas tres sur de ma reponse et il doit y avoir certainement une meilleure explication mais bon...

L'integration est une somme de tres petites quantites : ta fonction "f(x)" fois une quantite infime "dx" et cela de a jusque b (dans le cas d'une integrale definie sur un intervale).

Le dx est la pour montrer que c'est la somme de quantites infimes, c'est-a-dire que c'est une somme continue (le contraire de discret).

Voila,

Justin

En effet , comme le dit Justin , dx représente une quantité infime . Mais comme tu le dis aussi , elle indique par rapport à quel variable on intégre . Mais détrompes toi , si l'on intégre f(x) , on intégre pas forcémment par rapport à x .
Si je te demande de me calculer :
avec
et bien on aura :

soit


Par contre , si maintenant f est en fonction de x et de t , par exemple :

On aura :

et

On voit bien la différence


Jord

Ok, j'ai pigé !

encore une question:
si l'on a f(x)=x² et qu'on veuille l'intégrer, alors on la note:

I= f(x).dx

et là, ça devrait se transformer en:
I= F(x).x
puisque la primitive d'une dérivée (dx) est x, or ça n'est pas le cas, pourquoi ?

Merci

PS: d'ailleurs, cette partie infime de x, pourquoi est-ce une dérivée (dx) ?

attention !! dx n'est pas la dérivée de x , c'est juste une quantitée ( en vérité , c'est un déplacement infime sur l'axe des abscisse ) .


jord

ok, pigé, merci beaucoup !

C'est un peu plus puissant que ca.

D'après la théorie de Cauchy, l'intégrale est une limite de sommes.(d'ou la forme d'un S du signe qui est en fait la lettre summa)
Quelles sommes?
Des sommes d'aires.
Quelles aires?
Les aires des rectangles de hauteur f(x) et de largeur.... dx
dx est un déplacement suivant l'axe des x.

On peut intégrer n'importe quoi, par exemple on pourrait intégrer
f(x,t)dg où g est une certaine fonction. Maintenant on ne se déplace plus par rapport à quelque chose de "plat", comme l'axe des x, mais suivant le chemin g.

En mesure, si on a un espace mesuré (un espace sur lequel on peut construire une intégrale), alors on note m la mesure, et on intégre par rapport à cette mesure, et intégrer fdm c'est intégrer f suivant la mesure m.
En général on ne note même pas la variable, car la variable ne sert à rien, meme s'il y'en a plusieurs, mais seule compte la mesure.
La mesure usuelle pour l'intégrale classique est la mesure de Lebesgue qui est une mesure qui vérifie
m([a,b])=b-a
On peut en fait montrer que cette mesure la est unique sur R. Notamment, l'intégrale au sens classique de f(x)dx et de fdm où m est la mesure de Lebesgue, coincident lorsqu'elles existent toutes les 2 en même temps.

Mais au niveau pratique, c'est vrai le dx sert à savoir suivant quelle variable on intégre, mais bon, c'est pas juste pour le fun qu'on le met non plus...

j'ai dit une bétise, cette mesure n'est pas unique, il faut ajouter une condition supplémentaire, mais je ne l'expliquerai pas, car ca n'a pas d'interet pour notre explication, c'est la complétude.
Par exemple, la mesure de Lebesgue et de Borel vérifient ceci.

Pigé, merci beaucoup !