salut,

as-tu des conditions sur p et q ?

bonjour on doit parvenir à généraliser mais

2,2=1/6

3,2=1/12=1/(3*4)

4,2=1/20=1/(4*5)

5,2=1/30=1/(5*6)
...
n,2=1/(n*(n+1))

-----------

3,3=1/30=1/(2*3*5)

4,3=1/60=1/(3*4*5)

5,3=1/105=1/(3*5*7)

A creuser...

cette intégrale doit exister avec des coef du binôme de Newton...

Philoux

Je suis bien d'accord Philoux

Mais si p et q ne sont pas entiers ?

On peut aussi remarquer que l'intégrale n'est pas définie pour toutes les valeurs de p et q...

d'accord ptijean

je mettrais ta main à couper que p et q sont entiers naturels supérieurs ou égaux à 1

Philoux

bon OK,

je veux bien te preter ma main

Si c'est la cas, je trouve :







pis faut continuer

Sauf erreur

Ptitjean

Dans le cas général cette intégrale ne s'exprime pas avec les fonctions élémentaires en nombre fini.
Il s'agit de la fonction "Beta complète" B(p,q).
On peut l'exprimer sous forme de série infinie, ou en utilant la fonction spéciale Gamma.
Dans le cas particulier de p et q entiers positifs, elle s'écrit avec des factorielles.
Voir :
http://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html

Il s'agit de la fonction Beta qui ne peut pas s'expliciter pas des fonctions usuelle... cependant elle s'exprime a l'aide de la facon Gamma sur la quel on a pas mal de resultat.

Beta(p,q)=Gamma(p)*Gamma(q)/Gamma(p+q)

et entra utre gamma verifie les propriete suivante : Defini sur C sauf les entier negatif ou nul.

Gamma(x+1)=x*Gamma(x) et Gamma(1)=Gamma(2)=1, donc Gamma(n) = (n-1)! pour tous n entier.
Gamma(1/2)=racine de Pi
et Gamma(x)*Gamma(1-x) = Pi/sin(Pi*x)

a partir de la tu peut exprimer assez simplement ton integral pour de nombreuse valeur particulière de p et q (tous les cas ou p=n-q ou bien,p et q sont entier, ou des entier +1/2 etc...)  mais il ni a pas d'expression general par des fonctions usuelles.

pour plus d'info sr les fonction Gamma et Beta :
http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/gamma/pdf/gamma.pdf

(la fonction Beta intervient a la fin juste avant les exemple d'application)


on peut aussi noter que des integrals de cette forme apparaisse assez regulierement (ou plutot des integral qui peuvent ce ramener a cette forme apres quelque changement de variable), (en physique par exemple pour avoir la periode de certain type d'oscilateur....)

enfin pour p et q entier on a "evidement" (en appliquant les resultat enoncé precedement)

B(p,q)=1/(p-1 parmi p+q-2) qui peut peut-etre ce montrer directement (par recurence) sans passer par tous le bratin precedent sur la fonction Gamma...

Merci à vous deux...

Philoux

hum moi d'ailleur je me suis laissé emporté moi ... c'est pas "p+q-2" mais bien "p+q-1" a chaque fois...

Je vous remercie tous pour vos prompte réponse, je verrai demain si je peux les utiliser, car mon problème est que je dois utiliser cette fonction (qui est bien la fonction Beta) en routine dans un algorithme Visual Basic pour automatiser des modélisation graphiques avec p et q étant des nombres (et donc ) variant d'un cas à l'autre.

Si jamais vous avez d'autres informations pouvant m'aider directement pour cette routine, elles sont les bienvenues.

Encore merci à tous et bonne soirée

Gill

Bonjour,

Si c'est pour de la programmation, vous pouvez utiliser l'algorithme ci-joint.
Calcul de B(p,q)=Gamma(p)*Gamma(q)/Gamma(p+q) : effectuer successivement l'algo avec x=p, x=q et x=p+q ce qui donne Gamma(p), Gamma(q) et Gamma(p+q).

Merci JJa, je crois que ça peux marcher, mais tu pourrais juste expliciter "g" dans cet algorithme, j'ai un peu de peine à voir ce qu'il représente et qu'elle valeur il prend.

Et pour pousser le bouchon encore un peu plus loin, tu n'aurais pas cet algorithme directement en VBA, car je dois avouer ne pas être informaticien et ne pas comprendre intégralement l'algorithme que tu as joint à ton message, désolé.

Encore merci à tous

Gill

Il manquait deux instructions d'initialisation : g=1 et f=10^99.
Voici le code écrit en Pascal. C'est tout ce que je peux faire pour vous.

C'est déjà énorme JJa, je vous remercie. Si une fois vous passez en Suisse faites moi signe, je vous offrirai un verre