Poser x = tg(t)

1 + x² = 1 + tg²(t) = 1/cos²(t)

dx = dt/cos²(t)

S dx/(1+x²)² = S cos²(t).dt = (1/2).S (1 + cos(2t)) dt = (1/2). [t + sin(2t)/2] + C

S dx/(1+x²)² = (1/2). [arctg(x) + (1/2).sin(2arctg(x))] + C

Or (1/2).sin(2arctg(x)) = x/(1+x²) ->

S dx/(1+x²)² = (1/2). [arctg(x) + x/(1+x²)] + C
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Merci, mais ça me paraît très compliqué.
Crois-tu que c'est la seule solution ?
Le prof donne comme indication : intégrer par parties .

Je demande ça car je n'arrive pas à justifier que .

Démo de (1/2).sin(2arctg(x)) = x/(1+x²)
Cela paraît long car j'ai tout détaillé)
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(Avec V pour racine carrée)

sin(2A) = 2.sinA.cosA et A = arctg(x) ->

sin(2arctg(x)) = (1/2).sin(arctg(x)).cos(arctg(x))

sin(B) = tg(B)/ (V(1+tg²B)   (car 1+tg²B = 1/cos²B)
cos(B) = 1/V(1+tg²B)
-> sin(B).cos(B) = tg(B)/(1+tg²B)
Avec B = arctg(x) ->
sin(arctg(x)).cos(arctg(x)) = tg(arctg(x)) / (1 + tg²(arctg(x))) = x/1+x²

sin(2arctg(x)) = 2.x/1+x²

(1/2).sin(2arctg(x)) = x/(1+x²)
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hum ... oui en intégrant par partie une fois on se retrouvera avec : et si on réintégre :


Bon , j'ai pas mis les [uV] , j'ai juste mis les intégrales que l'on trouvé aprés , comme ça je vous laisse chercher un peu

Por ceux que ça intéresse :


En intégrant par parties la deuxième intégrale avec et , on trouve




Je trouve ça plus naturel que le changement de variable (sauf ton respect, JP, bien sûr )

Pas de problème Seb.

Mais l'intégration par parties n'a rien de plus naturel que le changement de variables.
Ce sont seulement deux chemins différents pour arriver au même but.

Tant qu'à faire, n'oublie pas qu'une primitive n'est définie qu'à une constante près. (Sauf condition initiale).