Niveau Maths sup

Intégrale, relation de récurrence...

Posté par Yaya13 (invité) 12-03-05 à 10:58

Bonjour,

J'ai des petits soucis avec cet exercice.
Pourriez vous m'aider?

On pose n p
I_np = $\int_0^{1} x^n(1-x)^p dx$

a) Calculer I_n0 (pour tout n )
I_n0 = $\frac{1}{n+1}$

b) Etablir une relation de récurrence entre I_{n p} et I_{n+1 p-1}; en déduire I_{n p}.
on a I_np = $\int_0^{1} x^n(1-x)^p dx$ et I_{n+1 p-1} = $\int_0^{1} x^{n+1}(1-x)^{p-1} dx$
I_{n+1 p-1} = $\int_0^{1} x^{n+1}(1-x)^{p-1} dx$ = $\int_0^{1} x^{n}x \frac{(1-x)^p}{1-x} dx$ = $\int_0^{1} \frac{x}{1-x} x^n(1-x)^p dx$ = I_np $\int_0^{1} \frac{x}{x-1} dx$
est-ce bien une relation de récurrence? Comment en déduire I_np? Je ne vois pas.

c) En déduire une expression simple de la somme
$\sum_{k=0}^p (-1)^k(k parmi n) \frac{1}{n+k+1}$
PS : comment faire avec le latex pour écrire (k parmi n)? Merci d'avance.

Posté par re : Intégrale, relation de récurrence... 12-03-05 à 11:08

Pour établir ta relation de récurrence entre Inp et In+1 p-1, on utilise souvent l'intégration par partie
La réponse que tu donnes pour la question b) est fausse, car tu "sors" le terme x/(1-x) de l'intégrale , alors que ce terme dépend de 'x'
Voici un lien qui explique brièvement l'integration par partie : http://homeomath.imingo.net/integral9.htm
Bon courage à toi

Posté par Yaya13 (invité)re : Intégrale, relation de récurrence... 12-03-05 à 11:19

coucou Nicoco

Merci beaucoup pour ta réponse.
Mais je ne l'ai pas sorti de l'intégrale le terme $\frac{x}{1-x}$
Je trouve In+1 p-1 = I_np $\int^_{0}^1 \frac{x}{1-x} dx$ (j'avais fait une erreur au dessus j'avais écrit $\frac{x}{x-1}$ au lieu de $\frac{x}{1-x}$ )
Mais il faut peut être faire une intégration par parties comme tu me le conseilles. Je vais essayer.

Posté par titimarion (invité)re : Intégrale, relation de récurrence... 12-03-05 à 11:33

Salut,
ce n'est pas x/(1-x) que tu avais sorti de l'intégrale mais tu as dis en gros que
$\displaystyle\int_0^1 f(x)g(x)dx=(\int_0^1f(x)dx)*(\int_0^1 g(x)dx)$
ce qui est faux,
en effet il faut faire une intégration par partie.

Posté par Yaya13 (invité)re : Intégrale, relation de récurrence... 12-03-05 à 11:42

Merci titimarion pour ton explication.
Je viens de faire une intégrarion par parties et je me suis rendue compte de l'erreur.
Je trouve I_{n+1 p-1} = $\int_{0}^1 x^{n+1}(1-x)^{p-1} dx$ = $\frac{n+1}{p}$ I_np
Mais je ne vois pas comment en déduire I_np?

Posté par titimarion (invité)re : Intégrale, relation de récurrence... 12-03-05 à 12:02

Re
je n'ai pas fait le calcul
mais tu sais que $I_{n+1,p-1}=I_{n,p}\frac{n+1}{p}$
Tu peux donc par une récurrence sur p montrer que
$I_{n,p}=I_{n+k,p-k}\frac{p!n!}{(n+k)!(p-k)!}$
Ainsi $I_{n,p}=I_{n+p,0}\frac{p!n!}{(n+p)!}=C_{n}^{n+p}I_{n+p,0}$
Au final
$I_{n,p})C_n^{n+p}/(n+p+1)$
si je n'ai pas fait d'erreur.

Posté par titimarion (invité)re : Intégrale, relation de récurrence... 12-03-05 à 12:10

Oups j'ai mal écrit ce que je voulais mettre je corrige
J'ai $I_{n,p}=\frac{I_{(n+p,0)}}{C_{n+p}^{n}}=\frac{1}{C_{n+p}^n*(n+p+1)}$
Or $C_{n+p}^n*(n+p+1)=(p+1)C_{n+p+1}^{p+1}$ si ca peut t'aider.

Posté par Yaya13 (invité)re : Intégrale, relation de récurrence... 12-03-05 à 12:32

Merci encore titimarion pour ton aide.
Je vais reprendre tout ca.

Yaya13

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