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Intégrale/Série, mesure Lebegues

Posté par
lytar 13-12-20 à 17:09

Bonjour, je dois effectuer un calcule :

sur [0,1] (log(x) / 1-x)^2 du(x)

ou u est une mesure de Lebesgue sur R

Je ne sais pas comment m'y prendre..
Je me suis dis qu'il fallait utiliser le developpement en série entiere car 1/1-x = x^n mais je ne vois pas comment continuer

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intégrale/Série, mesure Lebegues 13-12-20 à 18:58

Bonjour lytar

\underline{une~idée~de~preuve} :

si on considère la suite de fonctions \left(f_n\right)_n définie par f_n(x)=(n+1)x^n\ln^2x ~,~si ~x\in]0,1] ~;~ f_n(x)=0 ~,~ sinon

il n'est pas difficile de voir que \left(f_n\right)_{n\geqslant0} est une suite de fonctions positives Lebesgue-mesurables

et que \int f_n=\frac{2}{(n+1)^2} (procéder par double intégration par parties)

le théorème de convergence monotone de Lebesgue donne alors \sum_{n=0}^{+\infty}\int f_n=\int\sum_{n=0}^{+\infty}f_n sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
lytarre : Intégrale/Série, mesure Lebegues 13-12-20 à 20:44

Merci de votre réponse mais je ne comprends pas votre raisonnement et le rapport avec le problème posé..

Posté par
lytarre : Intégrale/Série, mesure Lebegues 13-12-20 à 20:44

elhor_abdelali @ 13-12-2020 à 18:58

Bonjour lytar

\underline{une~idée~de~preuve} :

si on considère la suite de fonctions \left(f_n\right)_n définie par f_n(x)=(n+1)x^n\ln^2x ~,~si ~x\in]0,1] ~;~ f_n(x)=0 ~,~ sinon

il n'est pas difficile de voir que \left(f_n\right)_{n\geqslant0} est une suite de fonctions positives Lebesgue-mesurables

et que \int f_n=\frac{2}{(n+1)^2} (procéder par double intégration par parties)

le théorème de convergence monotone de Lebesgue donne alors \sum_{n=0}^{+\infty}\int f_n=\int\sum_{n=0}^{+\infty}f_n sauf erreur de ma part bien entendu


Merci de votre réponse mais je ne comprends pas votre raisonnement et le rapport avec le problème posé..

Posté par
etniopalre : Intégrale/Série, mesure Lebegues 14-12-20 à 09:53

     Bonjour
    Pour tout x de [0 , 1[   on a :   1/(1 - x)²  = 1 + 2x + 3x² +....+ nxn -1 +  (n + 1)xn + .....
    D'où les fn de elhor_abdelali

Posté par
lytarre : Intégrale/Série, mesure Lebegues 14-12-20 à 23:18

Merci j'ai pu comprendre le raisonnement !


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