Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Intégrale/Série, mesure Lebegues

Posté par
lytar
13-12-20 à 17:09

Bonjour, je dois effectuer un calcule :

sur [0,1] (log(x) / 1-x)^2 du(x)

ou u est une mesure de Lebesgue sur R

Je ne sais pas comment m'y prendre..
Je me suis dis qu'il fallait utiliser le developpement en série entiere car 1/1-x = x^n mais je ne vois pas comment continuer

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Intégrale/Série, mesure Lebegues 13-12-20 à 18:58

Bonjour lytar

\underline{une~idée~de~preuve} :

si on considère la suite de fonctions \left(f_n\right)_n définie par f_n(x)=(n+1)x^n\ln^2x ~,~si ~x\in]0,1] ~;~ f_n(x)=0 ~,~ sinon

il n'est pas difficile de voir que \left(f_n\right)_{n\geqslant0} est une suite de fonctions positives Lebesgue-mesurables

et que \int f_n=\frac{2}{(n+1)^2} (procéder par double intégration par parties)

le théorème de convergence monotone de Lebesgue donne alors \sum_{n=0}^{+\infty}\int f_n=\int\sum_{n=0}^{+\infty}f_n sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
lytar
re : Intégrale/Série, mesure Lebegues 13-12-20 à 20:44

Merci de votre réponse mais je ne comprends pas votre raisonnement et le rapport avec le problème posé..

Posté par
lytar
re : Intégrale/Série, mesure Lebegues 13-12-20 à 20:44

elhor_abdelali @ 13-12-2020 à 18:58

Bonjour lytar

\underline{une~idée~de~preuve} :

si on considère la suite de fonctions \left(f_n\right)_n définie par f_n(x)=(n+1)x^n\ln^2x ~,~si ~x\in]0,1] ~;~ f_n(x)=0 ~,~ sinon

il n'est pas difficile de voir que \left(f_n\right)_{n\geqslant0} est une suite de fonctions positives Lebesgue-mesurables

et que \int f_n=\frac{2}{(n+1)^2} (procéder par double intégration par parties)

le théorème de convergence monotone de Lebesgue donne alors \sum_{n=0}^{+\infty}\int f_n=\int\sum_{n=0}^{+\infty}f_n sauf erreur de ma part bien entendu


Merci de votre réponse mais je ne comprends pas votre raisonnement et le rapport avec le problème posé..

Posté par
etniopal
re : Intégrale/Série, mesure Lebegues 14-12-20 à 09:53

     Bonjour
    Pour tout x de [0 , 1[   on a :   1/(1 - x)²  = 1 + 2x + 3x² +....+ nxn -1 +  (n + 1)xn + .....
    D'où les fn de elhor_abdelali

Posté par
lytar
re : Intégrale/Série, mesure Lebegues 14-12-20 à 23:18

Merci j'ai pu comprendre le raisonnement !

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1451 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !