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Intégrale sinus puissance 2n

Posté par
babybrain 07-03-12 à 15:15

Bonjour,

A l'aide de la formule : sin(x) = (eix-eix)/2i, je dois montrer que :

\\ \int_{0}^\pi sin^{2n}(t) \mathrm dt = \pi\frac{C^n_{2n}}{4^n}. \\

j'ai utilisé la formule du binôme de newton mais c'est assez long et je tombe sur : 1/(-4)^n \sum_{k=0}^{2n} 2/ik \ C^k_{2n}. On n'aboutit pas au résultat.

La méthode n'est surement pas la bonne mais je ne sais pas laquelle utiliser.

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrale sinus puissance 2n 07-03-12 à 15:29

Bonjour

De toute façon tu dois trouver un nombre réel positif, donc ou bien ta formule s'arrange encore, ou bien elle est fausse!

Une suggestion, mais je n'ai pas fait tous les calculs et je n'utilise pas ta foermule.

Récurrence!

I_{n+1}=I_n-\int_0\pi\sin^{2n}(t)\cos^2(t)dt

et l'intégrale se calcule (enfin, j'espère) par parties en intégrant \sin^{2n}(t)\cos(t) et en dérivant \cos(t). Il devrait en sortir une formule de récurrence, et comme on te donne le résultat, il sufft de cérifier!

Posté par
babybrainre : Intégrale sinus puissance 2n 07-03-12 à 16:00

Pour en faisant l'IPP je tombe sur :

\int_{0}^\pi sin^{2n+2}(t)/(2n+1) \mathrm dt

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrale sinus puissance 2n 07-03-12 à 16:20

Parfait! C'est I_{n+1}/(2n+1) (je n'ai pas vérifié) tu le mets dans l'équation et tu as I_{n+1} en fonction de I_n

Posté par
pedestreIntégrale sinus puissance 2n 07-03-12 à 18:14

Bonjour,

sin^{2n}t=\frac{1}{(2i)^{2n}}\sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix}2n\\k\end{pmatrix}e^{ik-i(n-k)} = \frac{1}{4^n}\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}2n\\k\end{pmatrix}e^{2i(k-n)t}.
Si k\neq n\quad\int_0^{\pi} e^{2i(k-n)t} dt = \frac{e^{2i(k-n)\pi}-1}{2i(k-n)}=0.
Si k=n\quad \int_0^{\pi} e^0 dt=\pi.
Il ne reste donc qu'un seul terme non nul qui donne le résultat indiqué.

Posté par
pedestreIntégrale sinus puissance 2n 07-03-12 à 18:22

Il faut lire au début de mon message sin^{2n}t=\frac{1}{(2i)^{2n}}\sum\limits_{k=0}^{2n}\begin{pmatrix}2n\\k\end{pmatrix}e^{(ik-i(n-k))t}

Posté par
pedestreIntégrale sinus puissance 2n 07-03-12 à 18:46

Décidément il y a encore des petites erreurs (de signe en particulier) que tu dois pouvoir corriger facilement, mais le principe (il ne subsiste qu'un seul terme non nul) est correct .

Posté par
babybrainre : Intégrale sinus puissance 2n 08-03-12 à 01:14

Merci Camélia ta méthode fonctionne ! Je trouve la même relation de récurrence pour \pi\frac{C^n_{2n}}{4^n}.

Et merci pedestre, pour l'autre méthode (formule d'Euler sinus), je  me suis en effet trompé. Une erreur dans le binôme et de signe dès le début...

Mais j'ai juste une question basique : (2i)^{2n} = (-4)^n. En fait je ne vois comment tu te débarrasses du "-".

Posté par
pedestreIntégrale sinus puissance 2n 08-03-12 à 09:42

Je devais vraiment être très fatigué et j'ai multiplié les erreurs... Dans le développement du binôme j'ai oublié qu'il s'agissait d'une différence et non d'une somme ! : le terme k=n (le seul qui va donner autre chose que 0) a le facteur (-1)^n, ce qui explique le signe + final.

Posté par
babybrainre : Intégrale sinus puissance 2n 08-03-12 à 10:12

Un truc m'échappe...

Moi quand je l'écris ça donne :

\frac{1}{(-4)^n} \sum\limits_{k=0}^{2n} -C_{2n}^{k}e^{2i(k-n)t}

Posté par
pedestreIntégrale sinus puissance 2n 08-03-12 à 11:08

Bon, essayons d'écrire finalement le résultat correct:

\\ \mathrm{sin}^{2n} t=\frac{1}{{(2i)}^{2n}} (e^{it}-e^{-it})^{2n}= (-1)^n\frac{1}{4^n}\sum\limits_{k=0}^{2n} C_{2n}^ke^{ikt} (-1)^{2n-k} e^{-i(2n-k)t}=(-1)^n\frac{1}{4^n}\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^{2n-k} C_{2n}^k e^{-i(2n-2k)t}. Lorsqu'on intègre sur [0,\pi] seul le terme k=n donne un résultat non nul qui vaut (-1)^n\frac{1}{4^n}\int_0^{\pi} C_{2n}^n(-1)^n .1 \;\mathrm d t=\frac{C_{2n}^n \pi}{4^n}

Posté par
babybrainre : Intégrale sinus puissance 2n 08-03-12 à 11:20

Ah oui. Je me trompais sur la puissance du -1.

Merci!


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