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Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes

Posté par
Fractal 29-05-06 à 21:12

Bonjour, j'aimerais savoir comment on calcule l'intégrale sur IR d'une fonction à valeurs complexes. Si ca peut aider j'ai l'expression de ma fonction sous forme trigonométrique :

\Bigint_{\mathbb{R}}r(x)e^{i\theta(x)} dx = ?

Merci d'avance

Fractal

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:15

Bonsoir Fractal

Quelles sont les expressions exactes de r et de \Large{\theta} ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:19

Je viens de me rendre compte d'une chose : tu parles du cas général ?

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:23

Je parlais dans le cas général pour ne pas vous embrouiller avec des formules quelque peu indigestes.
Ce que je dois calculer est :

\Large{\frac{1}{\sigma\sqrt{\pi}}\Bigint_{\mathbb{R}}e^{i\frac{(p'_0-p_0)x}{h}}e^{\frac{-(x-x_0)^2-(x-x'0)^2}{2\sigma^2}}dx}

Mais le cas général m'intéresse aussi

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:24

Petite précision inutile, il est censé y avoir une barre en travers du h mais je n'ai pas réussi à l'écrire en LaTeX...

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:32

D'accord, donc si j'ai bien compris :
\Bigint_{\mathbb{R}}r(x)e^{i\theta(x)}=\Bigint_{\mathbb{R}}r(x)cos(\theta(x))+i\Bigint_{\mathbb{R}}r(x)sin(\theta(x))

... et vu ma formule, ca va pas être de la tarte

Merci beaucoup

Fractal

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:33

Avant tout, en quelle classe es-tu ? (car je vois première dans ton profil)

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:36

Je suis en première mais je suis, disons, un peu en avance.
Je pense que tu peux considérer que je suis d'un niveau supérieur

(ton premier message a disparu?)

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:40

Citation :
(ton premier message a disparu?)

Je ne vois pas de quoi tu parles ?
En fait, je l'ai effacé parce que j'avais mal compris ta question.

Sinon, je vois une méthode : connais-tu le théorème de dérivation sous le signe intégrale ?

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:44

Euh, non, désolé.

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:46

Dans ce cas, as-tu des notions sur les probabilités, notamment sur les fonctions caractéristiques ?

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 21:50

Les probabilités Qu'est ce qu'elles viennent faire là dedans celles-là?
Euh, encore désolé, mais ca je ne connais pas vraiment, mais tu peux essayer de m'expliquer, je comprends vite

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:12

Commençons pas le commencement :

Sais-tu ce qu'est une loi normale ?

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:17

Plus ou moins.
C'est une densité de probabilité de la forme x\rightarrow e^{-\frac{x^2}{2}}, qui a une  forme de cloche et qui sert à représenter des tas de phénomènes. Elle est définie par sa moyenne et sa variance.

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:19

Dans le doute, j'écris ce que c'est.
Soit X une variable aléatoire.
On dit que X suit une loi normale \Large{\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})} si pour tout intervalle I, on a \Large{P(X\in I)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\bigint_{I}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx}

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:20

D'accord, jusque là, ca va.

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:26

OK !
Maintenant, au tour des fonctions caractéristiques.
La fonction caractéristique d'une variable aléatoire X est l'application :

\Large{\phi_{X} : t\mapsto E(e^{itX})}

Si X suit une loi normale défini comme précédemment, on a :

\Large{\phi_{X}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\bigint_{\mathbb{R}}e^{itx}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx}

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:32

Euh, là ca va plus trop, E() signifie la partie entière??
Et comment on peut prendre l'exponentielle d'une variable aléatoire vu que justement, elle est aléatoire?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:35

E désigne l'espérance !
Sinon, pour l'exponentielle, considère pour l'instant que ce n'est qu'une notation !

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:38

L'espérance !!!
Je me disais aussi...
Bon, considérons donc que ce n'est qu'une notation, mais dans ce cas comment on trouve la fonction caractéristique de la loi normale?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:47

Oups, j'avais oublié un détail !
En farfouillant dans mon cours, je me suis aperçu qu'on la calculait en dérivant sous le signe intégrale !
Moyennant ce "détail", on peut montrer que dans ce cas, on a, si je ne me trompe pas \Large{\phi_{X}(t)=e^{-\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}+it\mu}}.
Je crois donc, qu'il va falloir trouver autre chose car je suppose que tu veux une vraie méthode de calcul (et donc qui ne s'appuie pas sur un résultat connu).

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:50

Oui, j'aimerais bien avoir une méthode de calcul. Mais on ne pourrait pas faire comme dans mon post de 21h32 ?
Bon, je dois aller me coucher, je reviendrai demain.

A demain

Fractal

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 29-05-06 à 22:55

Oui, mais ça reviendrait quand même à dériver sous le signe intégrale, à faire une intégration parties et à résoudre une équation différentielle du premier ordre.

Bonne nuit à toi.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 30-05-06 à 00:17

On va faire les choses dans l'ordre.
On ne va pas utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégral car on est dans un cas simple (en fait, on va le démontrer dans ce cas particulier)
Posons \Large{f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\bigint_{\mathbb{R}}e^{itx}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}dx}
On se rend compte assez facilement que l'on a aussi \Large{f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\bigint_{\mathbb{R}}cos(tx)e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}dx} (car la partie imaginaire est impaire)
On pose \Large{g(t)=\frac{-1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\bigint_{\mathbb{R}}xsin(tx)e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}dx}
Soit t et x deux réels quelconques.
Soit aussi h un réel strictement positif.

L'inégalité de Taylor-Lagrange donne alors :

\Large{|cos(x(t+h))-cos(xt)+hxsin(xt)|\leq \frac{h^{2}}{2}\sup_{u\in [t,t+h]}|x^{2}cos(xu)|\leq \frac{x^{2}h^{2}}{2}}
D'où \Large{\|\frac{cos(x(t+h))-cos(xt)}{h}+xsin(xt)\|\leq \frac{x^{2}h}{2}}

Ainsi, on a \Large{\|\frac{f(t+h)-f(t)}{h}-g(t)\|\leq }\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma}\bigint_{\mathbb{R}}\frac{x^{2}}{2}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}dx}
Le terme de droite tend clairement vers 0 lorsque h tend vers 0.
Le raisonnement reste le même pour h strictement négatif.
On en déduit alors que f est dérivable et que f'=g.
Ensuite, une simple intégration par parties (en choisissant de dériver le sinus) permet de trouver un équation différentielle linéaire du premier ordre vérfifiée par f.

Kaiser

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 02-06-06 à 14:50

Bon, merci beaucoup pour ton aide mais cette méthode est encore trop compliquée pour moi.
Par contre je viens de m'apercevoir de la présence d'un annexe à mon cours qui m'a permis de calculer mon intégrale grâce à la formule suivante :


Soit Q(x)=Ax^2+Bx+C, avec A, B, C \in \mathbb{C} et Re(A)>0 pour la convergence.
Alors,
\Bigint_{-\infty}^{+\infty}\e(-Q(x))dx=\sqrt{\frac{\pi}{A}}\e(-C+\frac{B^2}{4A})

Et encore merci pour ton aide

Fractal

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 02-06-06 à 15:47

Bonjour Fractal

Dans cet annexe, y a-t-il une démonstration ?

Kaiser

Posté par
Fractalre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 02-06-06 à 16:01

Non, ce ne sont que des notes provisoires et la démonstration n'y figure pas encore.
Le cours (très intéressant) est disponible sur cette page ; peut-être qu'il sera mis à jour avec les démonstrations qui manquent.

Fractal

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale sur R d'une fonction à valeurs complexes 02-06-06 à 16:04

OK ! merci !


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