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intégrale triple

Posté par
aurelie231 10-12-07 à 09:30

Bonjour,
pourriez vous m'aider à résoudre cette intégrale svp ?

I = intégrale triple sur D de(xyz dxdydz)
où D est défini par D = {(x,y,z) appartenant à R^3; x>=0, y>=0, z>=0, x²+y²+z² <= 6}.
On pourra passer en coordonnées sphériques :
x = ro sin teta cos fi
y = ro sin teta sin fi
z = ro cos teta

Voilà,
merci d'avance
A+

Posté par
isisstruissre : intégrale triple 10-12-07 à 12:03

Bonjour aurelie231!

Tu dois en premier trouver les contraintes sur r, \theta , \phi pour décrire le même domaine. Ce seront les bornes de ton intégrale triple.

Tu dois ensuite calculer le jacobien de ton changement de variable, c'est-à-dire calculer le déterminant de cette belle matrice:
J=\(\array{3$ \\ \frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}&\frac{\partial x}{\partial\phi}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}&\frac{\partial y}{\partial\phi}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial r}&\frac{\partial z}{\partial \theta}&\frac{\partial z}{\partial\phi}\\ \\ }\)

Je te laisse calculer, cela doit donner det J=r^2sin\theta

Ensuite tu pourras calculer ton intégrale triple terme par terme, comme 3 intégrales simples à la suite. Ce ne sera pas difficile, toutes primitives se trouvent facilement. Si tu as de la peine à ce moment là signale-le en donnant ton résultat histoire de vérifier que tout est juste. Ton intégrale ressemblera à ceci:
I=\bigint_{\phi=?}^?\bigint_{\theta=?}^?\bigint_{r=?}^?r^3sin^2\theta cos\theta cos\phi sin\phi\cdot J\cdot dr\cdot d\theta\cdot d\phi

Isis

Posté par
aurelie231re : intégrale triple 10-12-07 à 17:20

merci...mais mon problème c'est que je ne trouve pas les bornes des intégrales...je m'embrouille.
Vous pourriez m'aider, svp ?

Posté par
isisstruissre : intégrale triple 10-12-07 à 19:56

D'accord aurelie231.

Par la définition même des coordonnées sphériques tu as r\ge0. Comme x^2+y^2+z^2=r^2, la dernière contrainte décrivant D donne une borne supérieure à r.

Comme x,y et z ne peuvent être négatifs, on reste dans un 1/8 de sphère.
\theta=0 équivaut à rester sur l'axe Z. On peut le faire grandir jusqu'à toucher "le sol", le plan XOY, donc à \theta=\frac{\pi}{2}.

Pour \phi cela se passe de la même manière, je te laisse réfléchir.

Isis

intégrale triple

Posté par
aurelie231re : intégrale triple 10-12-07 à 21:00

Oki, alors fi est aussi entre 0 et pi/2...? et r entre 0 et racine de 6 ?

Posté par
isisstruissre : intégrale triple 10-12-07 à 21:39



Avec ces informations tu arrives au bout?

Isis

Posté par
aurelie231re : intégrale triple 10-12-07 à 21:41

Ouf...
je suis en train de faire le calcul...

Posté par
aurelie231re : intégrale triple 10-12-07 à 21:46

je trouve 0...

Posté par
isisstruissre : intégrale triple 10-12-07 à 22:08

Hum... Au moins une de nous deux a commis une erreur... J'obtiens 18. Avant que je me relancer dans mes calculs, dis-moi si tu as la même intégrale que moi:

I=\Bigint_{\phi=0}^{\pi/2}\Bigint_{\theta=0}^{\pi/2}\Bigint_{r=0}^{\sqrt{6}}r^5\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta \cdot\cos\phi\cdot\sin\phi\cdot dr\cdot d\theta\cdot d\phi

Isis

Posté par
aurelie231re : intégrale triple 10-12-07 à 22:09

oui j'ai également ça...

Posté par
isisstruissre : intégrale triple 10-12-07 à 22:45

J'intègre en premier sur r. La primitive de r^5 vaut r^6/6.

I=\Bigint_{\phi=0}^{\pi/2}\Bigint_{\theta=0}^{\pi/2}36\cdot\sin^3\theta\cdot\cos\theta \cdot\cos\phi\cdot\sin\phi\cdot d\theta\cdot d\phi

J'intègre sur . Une primitive de sin^3(\theta)cos(\theta) est -\frac{1}{4}sin^4(\theta).

I=\Bigint_{\phi=0}^{\pi/2}-\frac{36}{4}\cdot\cos\phi\cdot\sin\phi\cdot d\phi

J'intègre sur . Une primitive de \cos\phi\sin\phi est \frac{1}{2}cos^2\phi.

I=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}

J'ai corrigé une erreur sur mes calculs précédents. J'espère que cette version est exempte d'erreurs.

Isis

Posté par
infophilere : intégrale triple 11-12-07 à 06:50

Bonjour Isis

Ravi de te revoir

Posté par
aurelie231re : intégrale triple 11-12-07 à 08:02

Bonjour...je me suis trompée dans mon résultat et j'ai recommencé et je trouve le même résultat que vous...merci pour votre aide.

Posté par
aurelie231re : intégrale triple 11-12-07 à 08:05

par contre j'ai d'autres problèmes avec ces exos...

J'ai encore une intégrale et 2 exos "bizarres"  

Vous pourriez m'aider, svp ?

Calculer en passant en coordonnées sphériques I = intégrale triple sur D de (racine de(x²+y²+z²)dxdydz) où D est la boule d'équation x² + y² + z² < x dans R^3.

Pas simple ces intégrales triples...

Exo :

Soit D une demi boule homogène dans R^3 d'équation x² + y² + z² < R², z>0.
Calculer la position de son centre de gravité, son moment d'inertie par rapport à 0 et son moment d'inertie par rapport à l'axe Oz.

Exo :

Un solide matériel homogène en forme de cône de révolution de hauteur h et de cercle de base de rayon R est partagé en 2 morceaux identiques en le sectionnant selon un de ses plans de symétrie.

1) Déterminer le centre de masse d'un des morceaux obtenus.
2) Calculer le moment d'inertie par rapport à O du demi-cône.
3) Déterminer les moments d'inerties par rapport aux axes Ox, Oy, Oz.

Voilà,
merci beaucoup d'avance...(pour moi ce n'est pas trop des maths mais bon...)
A+

Posté par
isisstruissre : intégrale triple 11-12-07 à 19:16

Bonjour aurelie231.

Le premier exercice que tu cites se ressemble beaucoup à celui qu'on a traité ensemble. Seulement avant d'introduire les coordonnées sphériques je te conseille une petite "translation" sous forme de changement de variable pour centrer la boule D.

x^2+y^2+z^2<x\\x^2-x+\frac{1}{4}+y^2+z^2<0+\frac{1}{4}\\(x-\frac{1}{2})^2+y^2+z^2<\(\frac{1}{2}\)^2

La boule D est centrée en (1/2, 0, 0).

J'introduis le changement de variable suivant:
X=x-1/2, Y=y, Z=z

Une fois ceci fait tu prends les coordonnées sphériques comme l'exercice plus haut. Attention, cette fois on a une boule complète et pas seulement 1/8 de boule.

Isis

Posté par
aurelie231re : intégrale triple 11-12-07 à 21:22

Et bien justement j'ai essayé à plusieurs reprises mais sans résultat...
Pourquoi changez vous le domaine ? je ne comprends pas trop...pour trouver les bornes des intégrales...rooohhh
merci pour votre aide

Posté par
isisstruissre : intégrale triple 11-12-07 à 23:35

Le but de changer de domaine est d'avoir un domaine joliment décrit avec des bornes faciles... Mais j'ai vu que la fonction à intégrer devient horrible. Tant pis, passons direct aux coordonnées sphériques. L'intégrale est facile:
I=\bigint\bigint\bigint r^3\sin\theta drd\theta d\phi

Étudions les bornes du domaine.
x^2+y^2+z^2\le x\Longrightarrow r^2\le r\sin\theta\cos\theta
Comme r\ge0 On conclut que 0\le r\le\sin\theta\cdot\cos\phi

Pour les angles je te conseille un dessin. D est centré en (1/2,0,0) de rayon 1/2. D effleure donc l'origine.
0\le\phi\le\pi
0\le\theta\le\pi

Tu dois intégrer par rapport à r en premier.

Isis

Posté par
aurelie231re : intégrale triple 11-12-07 à 23:38

oki merci...je vais essayer.
Par contre vous pourriez m'aider pour l'autre exo ? svp...
car là je sèche complètement...merci d'avance

Posté par
isisstruissre : intégrale triple 12-12-07 à 00:38

Pour le centre de gravité, en ce qui concerne les 2 premières coordonnées c'est facile, par symétrie on trouve 0 et 0. C'est sur z qu'il faut faire un petit calcul:
z_G=\frac{\bigint\bigint\bigint_Dzdxdydz}{\bigint\bigint\bigint_Ddxdydz}
Il s'agit d'une sorte de de moyenne pondérée de z dans D. Le dénominateur est simplement le Volume de D, au lieu de calculer l'intégrale tu peux sortir la formule du volume d'une sphère.

Le moment d'inertie par rapport à l'axe Oz se trouve par
\bigint\bigint\bigint_Dz^2dxdydz
z² est en fait le carré de la distance du point (x,y,z) à l'axe Oz

Le moment d'inertie par rapport à 0 c'est pareil, sauf que la distance à considérer est celle entre le point (x,y,z) à l'origine.
\bigint\bigint\bigint_Dx^2+y^2+z^2dxdydz

Isis


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