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intégrale triple volume sphere sphere

Posté par
momo77 29-03-13 à 18:39

Bonjour,

j'aurais besoin de votre aide pour la résolution de l'exercice suivant :

Soit la fonction f(x; y; z) dont le domaine est E=f(x; y; z) x²+y²+(z+1)² <= 4; x²+y²+ (z+2)²<= 4

Dans chacun des cas suivants, posez l'intégrale triple avec f(x,y,z)dV
(I.e trouvez les bornes d'integrations)

1) en coordonnées cartésiennes avec dV = dzdydx
2) en coordonnées cylindriques
3) en coordonnées sphériques

voici ce que j'ai fais :

pour trouver ma borne pour  z  j'ai isolé dans chaque equation le Z
z1 = (4-x²-y²) - 1
z2 = (4-x²-y²) + 2

par contre je suis bloqué pour trouver les bornes de x et y

comment puis-je procédé ?

Je vous remercie d'avance de votre aide.

Posté par
delta-Bintégrale triple volume sphere sphere 29-03-13 à 21:14

Bonjour.

D'une manière générale, pour une intégrale multiple on la fonction à intégrer et le domaine d'intégration.

Si j'ai bien compris, on vous demande d'exprimer ( sous forme de trois intégrale simples répétées) l'intégrale triple \int\int_E\int f(x;y;z)dV   où f est quelconque mais définie sur E avec E le volume défini par: E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3,x^2+y^2+(z+1)^2\le 4, x^2+y^2+(z+2)^2\le 4. Dans ce cas que représente E?  

Essayez de définir E sous la forme E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3,(x;y) \in D\subset \mathbb{R}^2, z_1(x;y) \le z \le z_2(;)\}[tex]  où respectivement [tex]z_1(x;y  et z_2(x;y définissent les surfaces délimitant inférieurement et supérieurement le domaine E.  Que représente D? (Faites un dessin)

Exprimer ensuite D sous la forme  D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2, x \in [a;b],y_1(x) \le y \le y_2(x)\}  où y_1(x) et y_2(x) sont les 2 courbes délimitant D, (inférieurement et supérieurement si D est représenté à part dans le plan \mathbb{R}^2.

Procédez de manière analogue pour les coordonnées cylindriques et sphériques

Posté par
delta-Bintégrale triple volume sphere sphere 29-03-13 à 21:36

Bonjour.

je reprend pour E:

E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3,(x;y) \in D \subset \mathbb{R}^2, z_1(x;y) \le z \le z_2(x;y)\}  où respectivement
\{(x;y;z_1(x;y))(x;y) \in D\} et \{(x;y;z_2 (x;y))(x;y) \in D\} sont les surfaces délimitant le volume E

Posté par
momo77intégrale triple volume sphere sphere 30-03-13 à 20:34

oui le probleme est bien celui la, cependant j'ai fais une petite erreur de recopiage la deuxieme sphére c'est x²+y²(z-2)² 4

voici ce que j'ai fais suite a votre aide :

j'ai fait le dessin on observe sur ² une intersection entre 2 cercles :

  - x²+y² 4 - (z+1)²
  - x²+y² 4 - (z-2)²

on observe sur le dessin que z1 est au dessus de z2 j'ai donc fait z1 - z2 afin de trouver la valeur de mon z j'obtiens -(1/2).
ensuite en remplaçant dans les équations de cercle je trouve ceci :

  - x²+y² 15/4
  - x²+y² -9/4

et en faisant z2 - z1 : j'obtient z = 1/2 et les équations suivantes :

  - x²+y² 7/4
  - x²+y² 7/4

je pense que la deuxieme réponse a l'air bonne mais je ne sais pas pourquoi ^^

la réponse à la première question serait donc :

(4-x²-y²) - 1 z (4-x²-y²) + 2
-((7/4)-x²) y ((7/4)-x²)
-(7/4) x (7/4)

qu'en pensez vous ?
Merci.

Posté par
delta-Bintégrale triple volume sphere sphere 30-03-13 à 22:46

Bonjour.

Le domaine E donné est l'intersection de 2 sphères pleines ( ou plutôt de 2 boules fermées devrais-je dire) de centre (0,0,-1) et (0,0,2) de même rayon 2. L'intersection  des 2 sphères ( en tant que surfaces) est un cercle situé dans le plan z=\frac{1}{2}. (Petite erreur: il fallait résoudre l'équation x^2+y^2+(z+1)^2=x^2+y^2+(z-2)^2. (ce n'est pas \red{z=-1/2}. De plus quelle est l'ensemble des solutions du systèmes d'inéquations x^2+y^2\le \frac{15}{4},    \red{x^2+y^2\le \frac{-9}{4}}
Le domaine  D est la projection de E sur le plan Oxy et un disque centré à l'origine de rayon \frac{\sqrt{7}}{2}

Il vous reste à écrire l'intégrale donnée sous la forme \large {\int\int_E\int f(xy,z)dV=\int\int_E\int f(xy,z)dxdydz=\int_?^?(\int_?^?(\int_?^? f(xy,z)dz)dy)dx}. (Mettez les bornes aux intégrales)

L'expression de l'intégrale \int\int_E\int f(x;y;z)dV en coordonnées cylindriques est aisée car il suffit d'utiliser les coordonnées polaires (r,\theta)   pour le domaine D au lieu des coordonnées cartésiennes (x,y).

Restera ensuite le passage en coordonnées sphériques qui se traite de manière analogue.

Posté par
momo77intégrale triple volume sphere sphere 31-03-13 à 21:47

est ce que mes bornes sont correct :


(4-x²-y²) - 1 z (4-x²-y²) + 2
-((7/4)-x²) y ((7/4)-x²)
-7/2 x 7/2

Posté par
delta-Bintégrale triple volume sphere sphere 31-03-13 à 22:52

Bonjour Momo

Oui. Mais j'aurai aimé si vous les aviez mises dans les 3 intégrales simples répétées à la place des ?

Mettez vous au Latex, c'est peut être rébarbatif au début mais on s'y habitue. Moi-même je me suis au latex il y a juste un mois. Imprimer le guide Latex pour l'avoir sous la main (3 pages) en cas de besoin et n'écrivez pas des expressions très longues délimitées par une seule balise latex au début mais séparez les en des expression plus courtes chacune délimitée par une balise, la correction est plus aisée.

J'espère que vous avez vous-même rectifier les erreurs de frappe quel est l'ensemble au lieu de quelle est..  et f(x,y,z)  au lieu de f(xy,z)

J'attends vos réponses pour les coordonnées cylindriques et sphériques

Posté par
momo77intégrale triple volume sphere sphere 01-04-13 à 01:15

ok merci beaucoup

j'aimerai juste savoir pour la borne en z : comment faire pour savoir qu'elle est la borne du dessus et celle du dessous ?

qu'est ce qui me permet de choisir ?

Posté par
delta-Bintégrale triple volume sphere sphere 01-04-13 à 13:15

Bonjour Momo.

Je vous retourne la question: Pourquoi avez-vous écrit: \sqrt{4-x²-y²} - 1\le z \le \sqrt{4-x²-y²} +2  ?  

Posté par
momo77intégrale triple volume sphere sphere 02-04-13 à 03:27

Bonjour,

J'ai choisi d'ecrire cette égalité pour z car la sphere z1 est en dessous de z2


voici les réponses que j'ai trouvées pour les coordonnées cylindriques :

02
(4-r²)-1 z(4-r²)+2
-7/2r7/2

Et voici les réponses que j'ai trouvées pour les coordonnées sphériques :

02
0
??????

je ne sais pas comment trouver les bornes pour

qu'en pensez vous ?
Merci

Posté par
delta-Bintégrale triple volume sphere sphere. 02-04-13 à 10:30

Bonjour.

J'allais moi même tomber dans le piège.
Quand vous avez écrit  z_1(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}-1 \le z \le z_2(x,y)=\sqrt{x^2+y^2]+2, on a alors [tex]z \ge z_1(x,y) le point (x,y,z) est alors à l'extérieur de la sphère S((0,0,-1),2). Il ne faut pas oublier qu'un point (x,y,z) de l'intersection doit vérifier les 2 inégalités x^2+y^2+(z-1)^2 \le 4  et x^2+y^2+(z+2)^2 \le 4. On doit avoir donc en même temps  g_1(x,y)=-\sqrt{4-(x^2+y^2)}+1 \le z \le \sqrt{4-(x^2+y^2)}+1=g_2(x,y)( (les deux demi-sphères inférieure et supérieures de S((0,0,-1),2) et  h_1(x,y)=-\sqrt{4-(x^2+y^2)}-2 \le z \le \sqrt{4-(x^2+y^2)}-2=h_2(,y) (les deux demi-sphères inférieure et supérieures de S((0,0,2),2). En se rappelant que si u \in [a,b] \cup [c,d] alors u \in [max(a,c),min(b,d)] qui est non vide que si max(a,c)\le min(b,d)). z doit donc vérifier max(g_1(x,y),h_1(x,y) \le min(g_2(x,y),h_2(x,y). Comme max(g_1(x,y),h_1(x,y)=g_1(x,y)) et min(g_2(x,y),h_2(x,y)=h_2(x,y)) on a alors (g_1(x,y) \le z \le h_2(x,y). Géométriquement ça se comprend, l'intersection des 2 sphères pleines est délimitée par inférieurement par un morceau de la demi_sphère inférieure de la sphère supérieure S((0,0,2),2) et supérieurement par la demi-sphère supérieure de la sphère inférieure S((0,0-1),2). Faîtes un dessin pour le voir.

Finalement on a -\sqrt{4-(x^2+y^2)}+1 \le z \le \sqrt{4-(x^2+y^2)}-2.

En ce qui concerne les coordonnées cylindriques, modifier la variation de z c'est la même qu'en coordonnées cartésiennes mais exprimées en coordonnées polaires   -\sqrt{4-r^2}+1 \le z \le \sqrt{4-r^2}-2.

Pour les coordonnées sphériques voir le pochain post.

Posté par
delta-Bre : intégrale triple volume sphere sphere 02-04-13 à 11:37

Re-Bonjour

Erreur dans "..... en se rappelant sue si u .....", remplace la réunion  par l'intersection.
Erreur encore dans les équations des 2 sphères.
Il ne faut pas oublier que le point (x,y,z) doit vérifier \blue{ x^2+y^2+(z+1)^2 \le 4} et  \blue {x^2+y^2+(z-2)^2 \le 4}.
g_1(x,y),g_2(x,y),h_1(x,y)  et  h_2(x,y)  deviennent
g_1(x,y)=-\sqrt{4-(x^2+y^2)}-1,  

g_2(x,y)=\sqrt{4-(x^2+y^2)}-1,  

h_1(x,y)=-\sqrt{4-(x^2+y^2)}+2   et

h_2 (x,y)=\sqrt{4-(x^2+y^2)}+2  

et finalement max(g_1,h_1)=h_1 \le z \le min(g_2,h_2)=g_2 d'où:

-\sqrt{4-(x^2+y^2)}+2 \le z \le \sqrt{4-(x^2+y^2)}-1

Corriger donc en conséquences pour les coordonnées cylindriques.

Sauf encore des erreurs de ma part.

Posté par
delta-B intégrale triple volume sphere sphere 03-04-13 à 18:23

Bonjour.

Je continue donc pour les coordonnées sphériques. Pour plus de facilité d'écriture en Latex, je vais remplacer \rho  par r.

x=r~cos\theta ~sin \phi

y=r~sin\theta ~sin \phi

z=r~cos\phi

En reprenant ce qu'on avait trouvé en coordonnées cartésiennes. c.à.d. E est délimité par les 2 surfaces z_1(x,y)= -\sqrt{4-(x^2+y^2)}+2 et  z_2(x,y)=\sqrt{4-(x^2+y^2)}-1, on aura:

1) z_1(x,y)= -\sqrt{4-(x^2+y^2)}+2 \Longleftrightarrow r_1 cos(\phi)=(\-\sqrt{4-(r_1^2sin^2(\phi))}+2 \Longleftrightarrow (r_1~cos(\phi)-2)^2=4-r_1^2sin^2(\phi))}

\Longleftrightarrow r_1^2-4r_1cos(\phi)=r_1(r_1-4cos(\phi))=0 \Longleftrightarrow r_1=0  ou  r_1=4cos(\phi)

2)  z_2(x,y)= \sqrt{4-(x^2+y^2)}-1 \Longleftrightarrow (r_2 cos(\phi)+1)^2=r_2^2 cos^2(\phi)+2r_2 cos(\phi)+1=4-r_2^2sin^2(\phi)

\Longleftrightarrow r_2^2+2r_2~cos(\phi)-3=0 , \Delta'=cos^2(\phi)+3> 0

\Longleftrightarrow r_2=-cos(\phi)+\sqrt{cos^2(\phi)+3}, l'autre solution n'est pas valable car négative.

Quand \phi varie de 0 à \frac{\pi}{2}, le rayon vecteur coupe la surface r_2 pour \phi \in [0,\phi_1] puis la surface r_1  pour \phi \in [\phi_1,\frac{\pi}{2}] où \phi_1 est l'angle que fait le demi-axe des z positifs et le rayon vecteur coupant le cercle

z=\frac{1}{2}, x^2+y^2=\frac{\sqrt{7}}{2}.

\phi_1 est le demi-angle au sommet du cône droit  de sommet l'origine et de base le disque z=\frac{1}{2}, x^2+y^2\le \frac{\sqrt{7}}{2}. on a donc:

r=\sqrt{\frac{7}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=4cos(\phi_1)

d'où   cos(\phi_1)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{2}}= et \phi_1=arccos(\frac{1}{4}\frac{\sqrt{2}}{2}).

On doit donc découper l'intégration par rapport en 2:

1) de 0 à \phi_1, r varie de 0 à r_2

2) de \phi_1 à \frac{\pi}{2}, r varie de 0 à r_1.

Pour \theta, \theta \in [0,2\pi].

Je continue dans le post suivant, le temps de corriger l'erreur Latex.

Posté par
delta-Bintégrale triple volume sphere sphere 03-04-13 à 19:43

Je continue donc.

Finalement on aura en coordonnes sphériques:

\Large {\int\int_E\int f(x,y,z)~dxdydz=\int_0^{2\pi} \big[ \int_0^{\phi_1}\big( \int_0^{r_2}f(r~cos(\theta)~sin(\phi),r~sin(\theta)~sin(\phi),r~cos(\phi))r^2dr \big)~sin(\phi)~d\phi \big]~d\theta }

                \Large { +\int_0^{2\pi} \big[\int_{\phi_1}^{\frac{\pi}{2}}\big( \int_0^{r_1} f(r~cos(\theta)~sin(\phi),r~sin(\theta)~sin(\phi),r~cos(\phi)) r^2dr \big)~sin(\phi)~d\phi \big]~d\theta }


En coordonnées cylindriques:

\Large {\int\int_E\int f(x,y,z)~dxdydz=\int_0^{2\pi} \big[ \int_0^R \big( \int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)}f(r~cos(\theta),r~sin(\theta),z)dz \big) rdr \big]~d\theta }

où

\large {R=\frac{\sqrt{7}}{2},~~~ z_1(r,\theta)=-\sqrt{4-r^2}+2}   et   \large {~~~z_2(r,\theta)=\sqrt{4-r^2}-1}


En coordonnées cartésiennes:

\Large {\int\int_E\int f(x,y,z)~dxdydz=\int_{-R}^R \big[ \int_ {y_1(x)}^{y_2(x)} \big( \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz \big) dy \big]~dx }

où maintenant  

\large { z_1(x,y)=-\sqrt{4-(x^2+y^2)}+2,~~~  z_2(x,y)=\sqrt{4-(x^2+y^2}-1,~~~ y_1(x)=-\sqrt{\frac{7}{4}-x^2}}   et   \large {y_2(x)=-y_1(x)=\sqrt{\frac{7}{4}-x^2}}

Posté par
da93re : intégrale triple volume sphere sphere 27-03-16 à 22:45

je ne comprend pas comment tu as trouve tes coordonnes sphériques? Le calcul ne fonctionne pas.

Merci  

Posté par
da93re : intégrale triple volume sphere sphere 02-04-16 à 20:39

??


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