bonsoir Yaya13

a) votre solution ainsi que le raisonnement et la finesse et l'ajustesse de votre argumentation sont très rigoureues.

b) pour cette question je vais utiliser la notation suivante:

I(a,b)f(x)dx désigne l'intégrale de a à b de f lorsqu'elle est intégrable.

I(0,1)(1-(-x²)^n)dx/(1+x²)=I(0,1)dx/(1+x²)-I(0,1)(-x²)^n)dx/(1+x²)


I(0,1)dx/(1+x²)=[artg(x)](0,1)=Pi/4

et qq soit x tel que x²<1 on a:
1/(1+x²)= somme(0,+oo)(-1)^k.(x²)^k   ; somme=signe sigma.

La convergence de la série est uniforme.

donc on peu l'intégrer sous le signe somme.

I(0,1)dx/(1+x²)= somme(0,+oo)(-1)^k.I(0,1)(x²)^kdx

comme I(0,1)(x²)^kdx= (x^(2k+1)/(2k+1))(0,1)=1/(2k+1)

donc


I(0,1)dx/(1+x²)= somme(0,+oo)[(-1)^k/(2k+1)]

maintenant si vous utilisez le résultat de a) vous avez

lim I(0,1)(-x²)^n)dx/(1+x²)=0 lorsque n tend vers +oo.

donc

Pi/4 = somme(0,+oo)[(-1)^k/(2k+1)]

voila bon courage

bonsoir watik

Merci bcp pour votre réponse.
Je vais regarder tout cela en détails.
Encore merci.

Yaya13

Il me semble que la suite de fonctions x^n/(1+x^2) converge presque partout vers la fonction nulle sur [0,1]
Ensuite cette fonction est bornée par 1, et 1 est clairement intégrable sur [0,1].
Donc l'intégrale de la limite est la limite de l'intégrale... et vaut donc 0.
Pour la seconde question, il suffit de voir que l'on a une série géométrique cachée quelque part...

Sauf erreur(s)
A+

bonsoir otto

vous avez parfaitement raison. Je devais être fatigué pour ne remrquer que :

(1-(-x²)^n)/(1+x²)= 1-x²+...+(-x²)^(n-1)

et utiliser le résultat de 1)

en effet, en terminal on n'utidie pas les séries entières. Enfin je crois.