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Intégrales

Posté par DiAbOLiK (invité) 28-03-05 à 19:17

Salut, 'ai un petit problème avec ces intégrales, qui peut m'aider?


     /4
I=0 1/(1+tan x)

     /4
J=0 (tan x)2/(1+tan x)

Avec ces deux intégrales je dois:

1) exprimer I+J avec le changement de variable tan x= t
                                        /4
2) montrer que I-J = /4 - 0 sin x /cos x   avec le changement de variable u=cos x



Merci.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrales 28-03-05 à 19:33

1)

1/(1+tg(x)) + tg²(x)/(1+tg(x))
= (1+tg²(x))/(1+tg(x)
= (1 + (sin²(x)/cos²(x))/(1+tg(x))
= ((cos²(x)+sin²(x))/(1+tg(x)).cos²(x))
= 1/(1+tg(x)).cos²(x))

Poser tg(x) = t
(1/cos²(x)) dx = dt

S [1/(1+tg(x)) + tg²(x)/(1+tg(x))] dx = S dt/(1+t) = ln|1+t| = ln|1+tg(x)|

I + J = [ln|1+tg(x)|]de 0 à Pi/4
I + J = ln(2)
-----
2)
1/(1+tg(x)) - tg²(x)/(1+tg(x))
= (1-tg²(x))/(1+tg(x))
= (1-tg(x))(1+tg(x))/(1+tg(x))
= 1 - tg(x)

S [1/(1+tg(x)) - tg²(x)/(1+tg(x))] dx = S (1-tg(x)) dx = x - S tg(x) dx = x - S (sin(x)/cos(x)) dx
---
- S (sin(x)/cos(x)) dx

Poser cos(x) = u
-sin(x) dx = du

- S (sin(x)/cos(x)) dx = S (1/u) du = ln|u| = ln|cos(x)|

I - J = [x + ln|cos(x)|] de 0 à Pi/4

I - J = (Pi/4) + ln(1/V2)
---
Sauf distracion.  

Posté par vol (invité)une petite aide pour ton integrale 28-03-05 à 19:44

lorsque tu calcule I+J n'oublis pas que 1+(tan(x))^2 est egal à la
                                    
derivee de tan(x) donc I+J=[ln(1+tan(x)] en calculant avec tes valeurs tu as I+J=ln(2)

d autre part pour I-J tu dois utiliser une identité remarquable

1-(tan(x))^2/(1+tan(x))=1-tan(x)

en integrant tu obtiens alors l'egalite souhaitee
voila j'espere que ca t'aura servi

Posté par DiAbOLiK (invité)re : Intégrales 29-03-05 à 10:32

Merci du coup de main, je vais comparer avec mes résultats et je repasserai si j'ai un problème.

Posté par DiAbOLiK (invité)re : Intégrales 29-03-05 à 14:10

Salut J.P, je trouve pas tout à fait comme toi...

Dans la première question, après avoir posé tg(x)=t moi je trouve

1/((1+t).cos²(x))

Y a un petit problème non?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrales 29-03-05 à 17:46

Oui tu as un problème.
Il ne faut pas oublier de tenir compte du "dx" et du "dt"

On a montré que:
1/(1+tg(x)) + tg²(x)/(1+tg(x)) = 1/(1+tg(x)).cos²(x))

Poser tg(x) = t
-> \frac{dx}{cos^2(x)}\ =\ dt

\int [1/(1+tg(x)) + tg^2(x)/(1+tg(x))]\ dx = \int \frac{1}{(1+tg(x)).cos^2 x}\ dx = \int \frac{1}{(1+tg(x))}\ \frac{dx}{cos^2(x)}  = \int \frac{dt}{1+t}

OK ?



Posté par DiAbOLiK (invité)re : Intégrales 29-03-05 à 18:34

Je sais où j'ai fais l'erreur, dans la suite de mes calculs j'ai pas pris en compte le "dt".

Merci J.P.

Posté par bob309 (invité)la primitive de ln, mission impossible? 30-03-05 à 12:59

bonjour à tous,

je serai curieux de connaitre la primitive la fonction suivante, elle me permettrai de contourner la méthode de mon professeur... du moins je crois...

On sait que la primitive de ln(x) est telle que :

  (ln(x))dx = x.ln(x)-x+c

avec c constante réelle.

Ma question est donc que vaut la primitive suivante:
   (ln(u(x))) = .........???????

avec u une fonction usuelle, dans mon exercice u(x)=x, mais j'aimerai connaitre la forme génèrale...

Merci et bon courage

Cordialement... bob

Posté par DiAbOLiK (invité)re : Intégrales 30-03-05 à 15:26

Vrai ou faux?

  1
0 earc sin(x) =1

Merci d'avance...

Posté par bob309 (invité)reponse pour diabolik.... 30-03-05 à 18:15

je crois que je peux demontrer un truc qui peut t'aider

on pose u=arcsinx
       du=1/((1-x[/sup]2))*dx
       dx=cos(arcsin(x))*du
  donc dx=cos(u)*du

tu reinjectes tout ca dans ton integrale et tu as:
    
   I=e[sup]u*cos(u)*du

la tu fais deux Integrations Par Partie:

la premiere te donne:

   I=[e[/sup]u*sin(u)] - e[sup]u*sin(u)*du

tu refais une IPP et tu vois que tu en reviens à une primitive [....] moins ton integrale de départ qui était: I=e[/sup]u*cos(u)*du

ca te donne donc :
   I=[e[sup]u*sin(u)] - [e[sup][/sup]u*sin(u)] - I
I=-I, donc quelles que soient tes bornes I=0,
j'ai fait ca vite et je pense m'etre planté quelque part si c le cas, c que je me suis planté dans un signe et alors on aurait I=I, ce qui n'avancerait a rien... à voir...sinon tu fais ca par calculatrice, si tu ve savoir
a++

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrales 31-03-05 à 08:53

bob309

Ta question du 30/03/2005 à 12:59

Je ne pense pas qu'il soit possible de trouver la "forme générale" comme tu dis quelle que soit u(x).

Il faut traiter au cas par cas.

Tu dois aussi savoir, que parfois, bien qu'une primitive existe, il est impossible de l'exprimer par une somme finie de fonctions élémentaires.
---

Supposons que la fonction u(x) = e^x

On aurait alors a rechercher les primitives de ln(e^x), soit de x.
Ce serait F(x) = x²/2 + C
---
Si u(x) = -x², les primitives de ln(u(x)) n'existeraient pas puisque le log n'est pas défini pour un argument négatif.
---
Rien qu'avec ces 3 cas très simples:
u(x) = x
u(x) = e^x
u(x) = -x²
On voit que les primitives n'ont rien à voir les unes avec les autres.
...

Chaque cas d'expression de u(x) doit être traité séparément, il n'est pas possible de trouver la forme générale des primitives de la fonction ln(u(x)) quelle que soit la fonction u(x)
-----




Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrales 31-03-05 à 09:11

DiAbOLiK

Ta question du 30/03/2005 à 15:26
-----
Il n'y a pas besoin de calculer l'intégrale pour montrer que le proposition est fausse.

f(x) = e^arcsin(x)

f '(x) = (1/V(1-x²)). e^arcsin(x)

f '(x) > 0 pour x dans [0 ; 1[ -> f(x) est croissante.

f(0) = e^0 = 1

Et donc f(x) > 1 sur ]0 ; 1[

e^arcsin(x) > 1 sur ]0 ; 1[

\int_0^1 e^{arcsin(x)}\ dx > \int_0^1 \ dx

\int_0^1 e^{arcsin(x)}\ dx > [x]_0^1

\int_0^1 e^{arcsin(x)}\ dx > 1

Et donc la proposition \int_0^1 e^{arcsin(x)}\ dx = 1 est fausse.

-----
Sauf distraction.  

Posté par DiAbOLiK (invité)re : Intégrales 31-03-05 à 13:24

Elle donne quoi alors cette intégrale?

    1
I=0 earc sin(x) .dx

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrales 31-03-05 à 17:42

Je ne l'ai pas calculée, mais ton énoncé ne te le demande pas.

Tu peux répondre FAUX à la question et rien n'était demandé d'autre.


Posté par DiAbOLiK (invité)re : Intégrales 31-03-05 à 18:05

En fait je devais la calculer.
C'est pour ça que je vous ai demandé si elle était juste.

Mais puisque j'ai faux quelqu'un peut me la calculer?

Posté par bob309 (invité)merci jc pour la reponse... 31-03-05 à 18:43

je n'ai plus qu'a trouver le changement de variable adequat...
ici il s'agissait de ln(vx)
je pose u=x
d'ou   dx=2u.du
et on fini par chercher la primitive de ln(u)*2u*du...avec des ipp je pense qu'on s'en sort...

merci a toi et bonne continuation, courage avec diabolik...
bob

Posté par DiAbOLiK (invité)re : Intégrales 31-03-05 à 23:21

Personne pour me donner un coup de main?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrales 01-04-05 à 11:43

Poser arcsin(x) = t
sin(t) = x
cos(t) dt = dx

x = 0 -> t = 0
x = 1 -> t = Pi/2

I = \int_0^1 e^{arcsin(x)}\ dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.cos(t)\ dt

Poser e^t dt = dv -> v = e^t
et poser cos(t) = u -> -sin(t) dt = du

\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.cos(t)\ dt = [e^t.cos(t)]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.sin(t) \ dt  (1)
---

\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.sin(t) / dt
Poser e^t dt = dv -> v = e^t
et poser sin(t) = u -> cos(t) dt = du

\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.sin(t) / dt =  [e^t.sin(t)]_0^{\frac{\pi}{2}} -  \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.cos(t)\ dt

Remis dans (1) ->

\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.cos(t)\ dt = [e^t.cos(t)]_0^{\frac{\pi}{2}} + [e^t.sin(t)]_0^{\frac{\pi}{2}} -  \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.cos(t)\ dt  (1)

2.\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.cos(t)\ dt = [e^t.cos(t)]_0^{\frac{\pi}{2}} + [e^t.sin(t)]_0^{\frac{\pi}{2}}  

2.\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.cos(t)\ dt = e^{\frac{\pi}{2}} - 1

\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t.cos(t)\ dt = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2}

Et finalement:
I = \int_0^1 e^{arcsin(x)}\ dx = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2} \simeq 1,90523...
-----
Sauf distraction.  


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