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intégrales

Posté par Nathalie-Marie (invité) 05-08-05 à 19:39

Bonsoir à vous tous et toutes,
Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice  :
intégrale de (3x^2)/(x^3-1)^4 dx=
Pourriez-vous me l'expliquer en détail.

Je vous en remercie vivement par avance.

                 Nathalie-Marie.:)



Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 05-08-05 à 19:42

Indice :
1. quelle est la dérivée de 1/x^3 ?
2. quelle est la dérivée de \frac{1}{(x^3-1)^3} ?

Posté par Nathalie-Marie (invité)réponse 05-08-05 à 19:50

Je vous remercie de m'aider!
réponses :
1.  -3x^2/x^6
2.  -3(x^3-1)*3x^2/(x-3)^6

               Nathalie-Marie.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 05-08-05 à 19:53

Non. Avant d'attaquer les intégrales, clarifions les dérivées.

1. La dérivée de 1/x^3 est -3/x^4, non ?

Jetez un coup d'oeil à votre cours, et faites une nouvelle proposition pour l'indice 2 !

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 05-08-05 à 19:57


Pour l'indice 1, vous devez trouver dans votre cours que la dérivée de x^n (n entier relatif non nul) est n.x^{(n-1)}

En prenant n négatif (n=-p), on arrive à:
si p entier positif, la dérivée de 1/x^p est -p.1/x^{p+1}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 05-08-05 à 19:59

De même, vous devez trouver dans votre cours que :
si p entier positif, la dérivée de \frac{1}{f(x)^p} est -p\frac{f'(x)}{f(x)^{p+1}}
ou quelque chose comme cela.

Posté par Nathalie-Marie (invité)réponse 05-08-05 à 20:04

merci à vous

2.  -9x^2(x^3-1)^-4

             Nathalie-Marie.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 05-08-05 à 20:06

Je suis d'accord avec vous. Vous avez maintenant (quasiment) la réponse à votre intégrale de départ !

Posté par Nathalie-Marie (invité)réponse 05-08-05 à 20:14

Pourriez-vous m'expliquer comment on résoud l'intégrale en posant u.

                  Merci d'avance.

                        Nathalie-Marie:)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 05-08-05 à 20:19

On va essayer. Mais il n'y a pas que cette méthode.

Méthode 1 : utiliser l'indice 2
Vous avez trouvé que la dérivée de \frac{1}{(x^3-1)^3} est \frac{-9x^2}{(x^3-1)^4}
Donc la dérivée de -\frac{1}{3}\frac{1}{(x^3-1)^3} est \frac{3x^2}{(x^3-1)^4}
Donc une primitive de \frac{3x^2}{(x^3-1)^4} est -\frac{1}{3}\frac{1}{(x^3-1)^3}


Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 05-08-05 à 20:20

Méthode 2 : utiliser le cours

Sous l'intégrale de départ, vous auriez pu reconnaître une forme \frac{f'(x)}{f(x)^n}, dont une primitive est -\frac{1}{n-1}\frac{1}{f(x)^{n-1}}
Il n'y a pas un résultat de ce genre dans votre cours ?

Méthode 3 : par un changement de variable
... je prépare le message...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 05-08-05 à 20:26

Méthode 3 : par un changement de variable

On pose u=x^3-1
Alors du=3x^2dx
(Il y a quelques conditions à vérifier - cf. cours)

Alors \int \frac{3x^2}{(x^3-1)^4} dx = \int \frac{du}{u^4} = -\frac{1}{3}.\frac{1}{u^3} = -\frac{1}{3}.\frac{1}{(x^3-1)^3}
(à rédiger comme votre prof' vous le conseille d'habitude)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 05-08-05 à 20:30

Mais, fondamentalement, ces 3 méthodes... c'est la même chose !

Posté par Nathalie-Marie (invité)intégrales 05-08-05 à 21:00

Un tout grand merci à vous!!
Les conditions que vous spécifiez, quelles sont-elles?

                 Merci d'avance!!
                       Nathalie-Marie
        

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégrales 06-08-05 à 06:08

Bonjour Nathalie-Marie,

(1) La méthode de changement de variable est un théorème. Il repose sur des conditions (en particulier de continuité et de dérivabilité de la fonction u). Ces conditions sont expliquées dans votre cours. Vous pouvez également jeter un oeil à :
(4.3.1.)

(2) De manière générale, vous soumettez de temps en temps des exercices sur le forum en demandant "Pourriez-vous me l'expliquer en détail." alors qu'ils sont très proches du cours. Vous pouvez continuer à le faire, bien sûr, mais, ce n'est pas nécessairement la meilleure façon de progresser pour vous. Je vous conseille d'abord d'apprendre votre cours sur le bout des doigts. Vous verrez ensuite que la plupart des exercices sont de l'application quasi-directe. Et il restera ensuite des exercices plus difficiles bien sûr ! Avant de poster ici, prenez quelques minutes pour regarder l'exercice en détail, faire le lien avec le cours, commencer à le résoudre. Puis, si vous êtes bloquée, indiquez où vous en êtes arrivée. Tout cela n'est bien sûr pas une obligation : vous faites comme vous vous voulez ! Juste des conseils...

(Et surtout : accrochez-vous. Il est clair que vous voulez progresser. Avec un peu de méthode et d'opiniatreté, vous allez y arriver !)

Bien cordialement,

Nicolas

Posté par Nathalie-Marie (invité)intégrales 06-08-05 à 10:29

Un tout grand merci à vous pour vos explications!!

                           Nathalie-Marie.


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