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Posté par Guizmo (invité) 12-05-06 à 17:53

Bonjour,
J'ai un léger problème avec mon DM et si vous pouviez m'aider ce serait sympa.
On considère une suite an=\int_0^{1}(1-t^2)^{n/2}dt
et je dois prouver que a2n=\frac{2^{2n}}{(2n+1)\(2n\\n\)}
Dans les questions préliminaires, j'ai réussi à démontrer que an=\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^{n+1}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^{n+1}dx
Que pour n2, (n+1)*an=n*an-2
pour n*, (n+1)*an*an-1=\frac{\pi}{2}

J'ai un peu tout essayé, récurrence, passage par les expressions trouvées précédemment mais rien trouvé.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intégrales. 12-05-06 à 18:18

Bonjour Guizmo;
En posant \fbox{\forall n\ge1\\b_n=a_{2n}} et en remplaçant n par 2n dans la relation \fbox{\forall n\ge2\\(n+1)a_n=na_{n-2}} tu as que 2$\fbox{\forall n\ge1\\(2n+1)b_n=2nb_{n-1}} chose que tu peux aussi écrire \fbox{\forall k\ge1\\\frac{b_k}{b_{k-1}}=\frac{2k}{2k+1}} d'où 2$\fbox{\forall n\ge1\\\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{b_k}{b_{k-1}}=\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}} c'est à dire que 2$\fbox{\forall n\ge1\\\frac{b_n}{b_{n-1}}\times\frac{b_{n-1}}{b_{n-2}}\times..\times\frac{b_1}{b_0}=\frac{2^n}{2n+1}\frac{n!}{(2n-1)\times..\times5\times3\times1}} et en multipliant numérateur et dénominateur par le produit (2n)\times(2(n-1))\times..\times4\times2 tu vois que 2$\fbox{\forall n\ge1\\a_{2n}=\frac{2^n}{2n+1}\frac{2^nn!n!}{(2n)!}=\frac{2^{2n}}{(2n+1)C_{2n}^{n}}} (valable pour n=0)

Posté par Guizmo (invité)re : Intégrales 13-05-06 à 14:01

C'est très clair. Merci beaucoup elhor_abdelali.


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