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Integrales

Posté par
oerann 20-04-19 à 19:10

Salut je voudrais que vous m'aidiez sur cet exercice

Pour tout n>1 on pose U_n=2+2\sum_{k=1}^{n}{\frac{(-1)^k}{2k+1}}
On me demande d'etablir | \right U_n-2 \int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^2}}dx|\leq \frac{2}{2n+3}

Merci d'avance

Posté par
Jezebethre : Integrales 20-04-19 à 20:31

Bonjour

\int_{0}^{1}x^{2k}dx=\frac{1}{2k+1}

Posté par
oerannre : Integrales 20-04-19 à 23:47

Bonjour Jezebeth
J'y arrive  toujours pas

Posté par
Jezebethre : Integrales 20-04-19 à 23:53

Dans U_n, remplacez \frac{1}{2k+1} par l'intégrale et intervertissez somme et intégrale, vous obtenez une somme géométrique.

Posté par
Jezebethre : Integrales 20-04-19 à 23:57

Remarque. Au niveau terminale, si on veut faire ça très proprement on doit écrire :

\int_{0}^{1}x^{2k}dx=\lim_{\alpha \rightarrow 1^-}\int_{0}^{\alpha}{x^{2k}dx}

pour, après interversion somme/intégrale, reconnaître une somme géométrique (je vous laisse réfléchir à la raison pour laquelle c'est nécessaire).

Posté par
matheuxmatoure : Integrales 21-04-19 à 00:01

Jezebeth bonsoir
je ne comprends pas bien cette histoire de limite pour ton intégrale ... c'est quoi ton problème en 1 ?

Posté par
matheuxmatoure : Integrales 21-04-19 à 00:02

oerann bonsoir

il est posé comme ça ton exo ? pas de questions avant ?

Posté par
Jezebethre : Integrales 21-04-19 à 00:04

Bonsoir

La somme n'est pas géométrique pour tout x dans [0,1] (problème en 1).

Posté par
matheuxmatoure : Integrales 21-04-19 à 00:05

la raison de la suite étant (- x²) , je ne vois pas où est le problème

Posté par
Jezebethre : Integrales 21-04-19 à 00:12

Pas faux !

Posté par
matheuxmatoure : Integrales 21-04-19 à 00:12

en plus je ne vois pas l'intérêt de se trimballer des "2" comme ça partout !

considérons

V_n=1+\sum_{k=1}^{n}{\frac{(-1)^k}{2k+1}}

et établissons que

| \right V_n- \int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^2}}dx|\leq \frac{1}{2n+3}

ça allégera un peu et c'est équivalent

Posté par
Jezebethre : Integrales 21-04-19 à 00:15

Le "2" m'inspire que cet exo est extrait d'un sujet...

Posté par
matheuxmatoure : Integrales 21-04-19 à 00:17

oerann

ce qu'on te dit c'est que

V_n = \Sum_{k=0}^{k=n} \; \int_0^1 \; (- x^2)^k \; dx

ensuite faut arrêter de dire "je ne comprends pas", retrousser un peu les manche et faire un effort !

Posté par
matheuxmatoure : Integrales 21-04-19 à 00:19

Jezebeth
je le pense aussi ... mais comme ils pensent que les questions précédentes sont juste là pour faire joli, ils n'ont pas l'idée qu'elles peuvent être utiles

Posté par
Jezebethre : Integrales 21-04-19 à 00:24

C'est bien connu, un sujet de maths ça s'ouvre comme un catalogue ! (Quand on pense qu'à Centrale ils en sont encore à faire des questions II.A.c.2 sans que les gens pensent à faire un lien avec ce qui précède... )

Posté par
oerannre : Integrales 21-04-19 à 00:49

Bonjour matheuxmatou
L'exercice débute avec cette question il n'y a pas de questions precedentes

Posté par
Jezebethre : Integrales 21-04-19 à 20:29

D'accord. Mais il faut se lancer, on ne le fera pas pour vous.

Posté par
oerannre : Integrales 21-04-19 à 22:13

Vous avez raison
J'ai compris maintenant
Merci pour votre aide


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