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Intégrales...changements de variable...

Posté par Yaya13 (invité) 21-03-05 à 20:07

Bonsoir,

Je rencontre des petits soucis pour résoudre ces intégrales pourriez vous m'aider?
Je dois utiliser des changements de variables (règle de Bioche)

Merci d'avance.

\int{0}^{\frac{Pi}{2}}\frac{1}{1+ 2cosx} dx
D'après les règles de Bioche j'ai posé t = sinx  donc dt = cosx dx
mais je ne sais pas comment exprimer tout en fonction de sinx

\int{0}^{\frac{Pi}{4}} tan^2x dx
j'ai posé t = tanx donc dt = 1+tan²x dx
donc \int{0}^{\frac{Pi}{4}} tan^2x dx = \int{0}^{\frac{Pi}{4}} \frac{(1+tan^2x)tan^2x}{1+tan^2x} dx= \int{0}^{1} \frac{t^2}{1+t^2} dt
Mais là je bloque...

\int{0}^{\frac{Pi}{4}} tan^3x dx
j'ai posé t = tanx donc dt = 1+tan²x dx
donc \int{0}^{\frac{Pi}{4}} tan^3x dx = \int{0}^{\frac{Pi}{4}} \frac{(1+tan^2x)tan^3x}{1+tan^2x} dx= \int{0}^{1} \frac{t^3}{1+t^2} dt
Mais après je ne vois pas quoi faire..

Encore merci d'avance!

Posté par
dad97 Correcteurre : Intégrales...changements de variable... 21-03-05 à 22:10

Bonsoir Yaya13,

3$\frac{t^2}{1+t^2}=1-\frac{1}{1+t^2}

3$\frac{t^3}{1+t^2}=t-\frac{1}{2}(\frac{2t}{1+t^2})

Salut

Posté par
dad97 Correcteurre : Intégrales...changements de variable... 21-03-05 à 22:18

Une petiite remarque : on a pas spécialement besoin de ces règles de Bioche pour calculer les deux dernière intégrales en effet :

tan^2(x)=(1+tan^2(x))-1=[tan(x)-x]^'

et tan^3(x)=tan(x)(1+tan^2(x))-tan(x)
=(\frac{1}{2}tan^2(x))^'+\frac{-sin(x)}{cos(x)}
=(\frac{1}{2}tan^2(x)+ln(cos(x)))^'

On trouve alors directement :

4$\blue\rm\fbox{\Bigint_0^{\frac{\pi}{4}} tan^2(x)dx=1-\frac{\pi}{4}}

et 4$\blue\rm\fbox{\Bigint_0^{\frac{\pi}{4}} tan^3(x)dx=\frac{1}{2}[1-ln(2)]}

Salut

Posté par
dad97 Correcteurre : Intégrales...changements de variable... 21-03-05 à 22:36

Sinon par une autre méthode (changement de variable t=tan(\frac{x}{2}) ) on trouve :

4$\rm\blue\fbox{\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+2cos(x)}=\frac{\sqrt{3}}{3}ln(2+\sqrt{3})}

Salut


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