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intégrales curvilignes

Posté par
robby3 13-04-07 à 15:39

Bonjour en faisant un exercice,je ne comprend pas la correction...

\rm Soit D=(x,y)\in \R^2 | y\ge0,x^2+y^2\le 1 \\ Calculer \Bigint_D y dx dy \\ \\ en fait je comprend pas pourquoi on decoupe D: \\ \\ ils font ca: D_0=(x,y),x^2+y^2\le 1 \\ \\ \\ \Bigint \Bigint_{D_0} dx dy=\Bigint_{-1}^{1}(\Bigint_{-\sqrt(1-x^2)}^{\sqrt(1-x^2)} dy) dx=\Bigint_{-1}^{1} 2\sqrt(1-x^2) dx \\ \\ puis on a: \\ \\ D^{+}=(x,y),x^2+y^2\le 1 et y\ge 0 \\ \\ \\ \Bigint \Bigint_{D^{+}} y dx dy \\ \\ et enfin \\ \\ D^{-}=(x,y),x\ge 0 ,y\ge 0 et x+y<1 \\ \\ \\ \Bigint_{D^{-}} \frac{xy}{x^2+y^2} dx dy

je comprend pas du tout pourquoi on sépare D en 3 Domaines et surtout comment on les trouves?
comment trouves t-on aussi les intégrales qui résultent de cette découpe?

Merci d'avance de votre aide.

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 15:50

Salut Robby

je ne comprends pas : j'ai l'impression que \Large{D=D^{+}}

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 15:56

bonjour

Je ne comprends pas non plus, mais j'aimerais bien comprendre

Parce qu'on a fait la théorie, mais on a pas appliqué sur ce genre de truc en cours, donc je ne maîtrise pas trop.

Ca fera un bon exemple si j'arrive à comprendre

Déjà ici, il y a un problème puisque  D = D+

En plus, si j'ai bien compris, le domaine d'étude est le demi disque de rayon 1

On pourait peut-être faire un changement en polaire non ?

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 15:58

Salut Romain

Effectivement, le changement en polaire me parait plus judicieux.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:02

Salut Kaiser

Sinon, pourquoi ça ne fait pas tout simplement :

\Large{\Bigint \Bigint_{D} ydx dy=\Bigint_{-1}^{1}(\Bigint_{0}^{\sqrt(1-x^2)} y.dy) dx

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:04

ah ben oui, c'est vrai, c'est encore plus simple car on se débarrasse de la racine carrée assez rapidement.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:05

mais bon, tu sais ce qu'on dit, n'est-ce pas ? Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:08

Oui parce qu'on obtient du coup un truc tout simple :

\Large{\Bigint \Bigint_{D} ydx dy=\Bigint_{-1}^{1}(\Bigint_{0}^{\sqrt(1-x^2)} y.dy) dx=\Bigint_{-1}^{1} \frac{1-x^2}{2} dx = \frac{2}{3}

Mais comme je te le dis, je n'ai pas trop appliqué (je connais la théorie c'est déjà ça)

Donc il faudrait vérifier, mais je pense que c'est tout simplement ça ...

C'est pour ça que je ne comprends pas trop la méthode appliquée par robby (ou son corrigé)

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:10

Je suis d'accord avec toi pour le résultat.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:14

Cool !!

J'obtiens le même résultat en faisant le changement de variable en polaire :D

( bon j'avoue, au départ j'avais oublié le jacobien )

Merci pour la confirmation ...

Mais tu n'es pas d'accord que c'est étrange comme correction celle donnée par robby ?

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:17

tout comme toi, ce découpage me parait assez suspect.

Kaiser

Posté par
robby3re : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:32

oui excusez moi j'ai eu un pti souci avec le net.

Non mais moi je comprend pas le découpage, au début quand j'ai refais l'exo sans la correction,j'étais parti sur le message de Romain de 16:02
pour D=D+ ?? j'en sais trop rien,j'ai recopier ce qu'on avait écrit en Td...et trés franchement je trouve la correction pas trés clair...

donc si je comprend bien vos avis,la méthode de ne pas découper D est valable?

(parce qu'en faite j'ai fait 3/4 exos de sur les intervalles curvilignes et c'est la premiere fois que je vois ça.)

Posté par
lyonnaisre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:34

Moi je ne sais pas, faut demander à Kaiser (:D), je n'ai jamais découper les intervalles ...

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:37

Oui, cette méthode de ne pas découper est plus que valable. En fait, il aurait fallut découper si jamais le domaine sur lequel tu intègres était un peu farfelu ou si la fonction que tu intègres était construite par "morceaux", si tu vois ce que je veux dire.

Kaiser

Posté par
robby3re : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:38

ok Romain...mais ce découpage suspect d'aprés Kaiser me faisait plus rien comprendre au probleme!!

meme en le dessiannt c'est bizarre!!

Posté par
robby3re : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:39

ahh ok par exemple si D c'était un "triangle" dans le plan, on découpe selon les cotés...enfin tu vois...c'est ça?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:42

Si c'est un triangle, c'est plus difficile. Il faudrait alors utiliser, par exemple, Green-Riemann pour s'en sortir.

Kaiser

Posté par
robby3re : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:46

oui!!
ok d'accord Kaiser et Romain,merci pour votre aide.
Je vais continuer à revoir ça,je repasserais dans la soirée.
A plus tard peut-etre!

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales curvilignes 13-04-07 à 16:48

OK !

Kaiser


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