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Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann

Posté par
robby3 22-04-07 à 19:31

Bonjour à tous, en cette soirée électorale,place aux intégrales curvilignes!!

Voici un exercice dont j'aimerais comprendre le fonctionnement afin de le mémoriser pour le reproduire demain.

Soit D le disque de centre (0; 0) et de rayon R de R2. Soit C le bord de D oriente positivement. Calculer:
\Bigint_C x^3 dy-y^3dx en utilisant la formule de Green Riemann et le changement de variable x=ucos(v),y=usin(v).

Merci d'avance de votre aide.

je pensais à ça:
\rm \Bigint_C x^3 dy-y^3dx=\Bigint \Bigint_{dC} (\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy}) dx dy

ici je trouve 0??!!

Posté par
robby3Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 19:35

euhh les d c'est des dérivées partielles et attendez deux minutes avant de répondre s'il vous plait j'ai vu que je raconter n'importe quoi

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 19:35

Oui.
Cependant, je ne comprends pas pourquoi on ne calcule pas directement cette intégrale curviligne

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 19:40

Bonjour Perroquet,non mais en faite je vois pas,c'est quoi qu'on attend dans ce gnere de question?

je veux dire on fait quoi?

le changement de variable sert à quoi?

Merci d'avance de vos réponses.

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 19:45

La dérivée de Q par rapport à x vaut 3x^2. La dérivée de P par rapport à y vaut -3y^2. Donc, le résultat n'est pas 0 (je n'avais pas lu cette partie de ton post)

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 19:47

on a P(x,y)=x^3 et Q(x,y)=-y^3 ??

Posté par
ottore : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 19:50

Attention à ce que tu prends pour Q et pour P.
Tu dérives par rapport à x ce qu'il y'a devant le dy et par rapport à y ce qu'il y'a devant le dx.

Aussi, je te suggère d'écrire ça sous la forme
Pdx+Qdy car il y'a un signe "moins" (-) qui intervient et c'est devant dP/dx, donc devant le premier terme si tu mets ça sous la forme suggérée.

Bref, ce sont mes trucs mnémotechniques et je n'y ai jamais trouvé de faille

(sinon tu prends la dérivée extérieure de ton truc et tu retrouves la formule via le théorème de Stokes)

d( Pdx + Qdy ) =

\frac{\partial P}{\partial y} dydx + \frac{\partial Q}{\partial x} dxdy
ce qui donne le résultat souhaité.

a+

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 19:51

Non, ce n'est pas cela. L'intégrale curviligne de P dx +Q dy est égale à ...
Ici, tu cherchais l'intégrale curviligne de x^3 dy - y^3 dx.
Donc:  P(x,y)= -y^3     Q(x,y)=x^3

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 19:56

ahhh ok!!
Merci otto de ce truc!
par contre aprés je trouve bien ce qu'a dit perroquet comme dérivées...mais on fait le chnagement de variable quand? on parametre C?

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 19:59

Bonjour, otto.
L'intégrale double est prise sur l'intérieur de C, donc sur D (disque de centre O et de rayon R). On utilise la formule du changement de variables dans une intégrale double (avec le cas particulier du changement de variables en polaires, puisque le changement de variables proposé est celui-ci)

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 20:07

Ok d'accord ça je crois que j'ai compris,ce que je comprend pas,je vais tenter de m'expliquer mieux que ça:

ici on calcul d'abord les dérivées partielles en x et en y...on nous propose un chnagement de variable x=ucos(v)
y=usin(v)

donc on a: \rm \Bigint \Bigint -3y^2+x^2=\Bigint \Bigint3(x^2-y^2)=\Bigint \Bigint 3u^2(cos(2v))=0

on fait à quel moment le changement de variable.

(excuser moi je vais manger et je reviens à tout de suite)

Merci pour votre réponse et vos explications.

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 20:19

Attention, c'est l'intégrale de   3x^2+3y^2  que tu dois calculer. En effet:

\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=3x^2+3y^2

Formule du changement de variables en polaires (et tu devrais revoir la formule du changement de variables pour une intégrale double):

\displaystyle\int\!\!\int_D f(x,y)\, dx \, dy = \int\!\!\int_{\Delta} f(r \cos\theta,r\sin\theta)\, r \, dr \ d\theta

où \Delta est le domaine défini par D en coordonnées polaires

\Delta = \{ (r,\theta) \ | \ 0\leq r \leq R \ 0\leq \theta \leq 2\pi \}

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 20:45

\Bigint_{0}^R \Bigint_0^{2\pi} 3u^2(cos^2(v)+sin^2(v)).u du dv=12\pi^4-R

est-ce bien cela?

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 20:47

Non, u varie de 0 à R, et theta varie de 0 à 2pi

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 20:53

on est d'accord que:
\rm cos^2(v)+sin^2(v)=1 \\ \\ donc as t-on ca? \\ \\ \Bigint_0^{2\pi} \Bigint_0^R 3u^3 dudv=\frac{3R^4}{4}-2\pi

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 20:57

Il n'y a pas de signe "-", mais un signe de "multiplication".
Il est conseillé de noter:

\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(\displaystyle \int_0^R 3u^3 \, du \right) dv

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:03

ahh oui exact,au temps pour moi!
Merci bien de votre aide et de vos explications,si vous avez en tete un exercice de ce type je veux bien le tenter.
Sinon et bien Merci pour tout et bonne soirée.

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:11

Calculer l'intégrale curviligne de

\frac{-y}{x^2+y^2} dx +\frac{x}{x^2+y^2} dy

sur le cercle trigonométrique, orienté positivement.

En déduire que:

\frac{-y}{x^2+y^2} dx +\frac{x}{x^2+y^2} dy

n'est pas exacte sur \mathbb R^2\setminus\{ (0,0)\}

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:24

\rm j'ai ceci: \\ \Bigint_{dD} \frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy=\Bigint \Bigint_D \frac{-2}{x^2+y^2}=\Bigint_0^{2\pi}(\Bigint_{-1}^1 -2r dr) d\theta=-4\pi

ou j'ai utiliser comme paramétrage x=r cos(teta),y=r sin(teta).
??

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:28

Il est impossible d'utiliser la formule de Green-Riemann ici (il y a un gros problème en (0,0)).

Il faut calculer directement l'intégrale curviligne en paramétrant le cercle trigonométrique.

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:33

\rm \Bigint_{dD} \frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy=\Bigint_{dD} -r.sin(\theta).(-rsin(\theta))+r.cos(\theta).r.cos(\theta)

on fait ça?

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:38

Oui, sauf que dD est paramétré par  x= cos (theta)
y= sin(theta)    (r est égal à 1).

De plus, dans l'intégrale de droite, on intègre par rapport à theta, sur l'intervalle [0,2 pi].

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:41

je continue donc:

\Bigint_{dD}-r.sin(\theta)(-rsin(\theta))+r^2cos^2(\theta)=\Bigint_0^{2\pi} 1d\theta=2\pi

come cela?

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:46

Oui

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:47

ok sympa l'exo perroquet!
Merci bien!!

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:50

Il n'est pas fini...

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 21:52

pourquoi l'intégrale n'est pas exacte sur R²-({0,0})??
et bien je sais pas du tout!!

je comprend pas ce que ça veut dire exacte sur R²-({0,0}).

Posté par
ottore : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:00

Si elle était exacte, que vaudrait l'intégrale ?

Ce n'est pas l'intégrale qui est exacte, mais la forme.

Une forme exacte est toujours fermée.

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:02

une forme exacte est fermée...je crois que j'ai jamais entendu parler de ce genre de trucs?

Citation :
Si elle était exacte, que vaudrait l'intégrale ?


on vient pas de la calculer?

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:04

Bonsoir, otto.

On dit qu'une forme différentielle omega est exacte sur un ouvert U si elle peut s'écrire sous la forme omega = df, où f est une fonction de U dans R, de classe C^1 sur U.

Apparemment, tu n'as pas vu la notion.

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:06

ahh non je confirme j'ai jamais vu ça.
bah maintenant je le saurais

ça a un rapport avec le probleme en 0 mais comment le dire ??

Posté par
ottore : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:10

Salut perroquet (2e fois de la soirée dans cette discution ).

Une forme est exacte, non pas si elle est primitive d'une fonction de classe, C^1, mais plus généralement si elle est primitive d'une autre forme. C'est un peu plus général mais ici si on est en dimension 2, je pense que ca revient grosso modo au même (sauf si on part avec une 0-forme mais bon...)

Le rapport avec le problème en 0 est maintenant évident:

Si tu as une primitive f de omega, que vaut l'intégrale de omega sur un chemin C, en fonction de f?

Je doute que tu n'aies pas vu ça, si tu fais du calcul différentiel.

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:13

je fais encore de calcul diff(l'anné prochaine)

je sais absolument pas,et la c'est pas que je peux pas c'est que j'ai pas les outils pour répondre à ta question Otto?!

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:14

* pas encore

Posté par
ottore : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:17

Peut être que l'exercice n'est pas adapté à ton niveau.

Est-ce un exercice que tu es censé savoir faire?
Si oui, je pense que ma méthode est la plus simple pour y arriver.

Tu peux toujours y aller de manière directe, c'est à dire que tu dis qu'il existe une fonction f, telle que df=omega

Ensuite tu montres qu'un tel f ne peut pas exister, mais ce n'est clairement pas ainsi qu'est fabriqué l'exercice.

Posté par
ottore : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:20

Si tu te ramènes à R:

Si omega est une fonction continue, que vaut son intégrale sur [a,b] en fonction de sa primitive f?

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:21

Otto, je suis en 2eme année de licence, je ne fais pas de calcul différentielle,on a vu les intégrales curvilignes dans le cadre des intégrales impropres...et puis on a vu la formule de Green Riemann(dont j'aurais un exercice demain en ds)

voila le topo à mon sujet.

Posté par
ottore : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:24

Oui mais ca ne répond pas à ma question

Posté par
perroquetre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:25

En fait, c'est un exercice que j'ai proposé à robby3, sans savoir qu'il n'avait pas vu les formes différentielles exactes, fermées (cf les posts de 21h03 et 21h11). Je pensais qu'il connaissait les notions. J'ai eu tort.

Posté par
ottore : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:26

Ok, dans ce cas là, je pense que c'est plus clair.

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:27

j'avais pas vu la question!

\Bigint_a^b \omega=[primitive(\omega)]_a^b=F(a)-F(b)

Posté par
ottore : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:32

Bon, je vais répondre quand même, malgré le fait que tu ne saches pas nécessairement tout ça, histoire de rendre ça plus clair.

Lorsque tu as une forme exacte (i.e. qui possède une primitive), alors son intégrale sur un chemin reliant deux points a et b, ne dépend pas du chemin que tu choisis et la formule que tu donnes est encore vraie.

Notamment, si C est un chemin fermé, c'est à dire, si son point de départ est son point d'arrivée, alors on trouve que l'intégrale est F(a)-F(a)=0.

Donc l'intégrale sur tout chemin fermé est nul.

Ici, l'intégrale sur le cercle unité (qui est un chemin fermé) est non nul, donc elle ne peut pas être exacte.

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:34

Ok!
C'est bien plus clair avec tes explications!

Merci à tout les deux Otto et Perroquet.
Bonne fin de soirée à tout les deux.
Et encore merci de votre patience et de vos explicatiosn.

Posté par
ottore : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:40

Pour infos:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cohomologie_de_De_Rham

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:45

Merci Otto!
Je regarde ça plus tard,la je vais pieuter.
Demain ds!
Allez,bone nuit à vous!

Posté par
robby3re : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 22-04-07 à 22:47

je viens de jeter un coup d'oeil rapide et je confirme que je ne connaissais pas du tout ces choses la

Posté par
H_aldnoerre : Integrales curvilignes et Formule de Green Riemann 23-04-07 à 06:46

Il y a un truc je comprend pas :
le dr d\theta devrait donner du d\theta dr après, non ?

\Bigint\Bigint_D f(x,y) dxdy=\Bigint_{a}^b(\Bigint_{a(x)}^{b(x)} f(x,y)dy)dx


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