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Intégrales de fonctions trigonométriques

Posté par
Ragadorn 06-12-23 à 13:28

Bonjour à tous,
j'ai travaillé sur l'exercice ci-dessous et j'aimerais savoir si mes résultats sont justes :
On pose I=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{\cos ^2t}{\cos (2t)}}dt et J=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{\sin ^2t}{\cos (2t)}}dt.
1) Calculer I+J.
J'ai trouvé I+J=\frac{1}{2}\ln (2+\sqrt{3}). Est-ce juste ?
2) En déduire I et J.
En trouvant que I-J=\frac{\pi }{6}, j'ai trouvé que I=\frac{1}{4}\ln (2+\sqrt{3})+\frac{\pi }{12} et que J=\frac{1}{4}\ln (2+\sqrt{3})-\frac{\pi }{12}.
Est-ce juste ?

Merci d'avance pour vos retours.

Posté par
carpediemre : Intégrales de fonctions trigonométriques 06-12-23 à 13:47

salut

pour ma part je ne ferai pas les calculs ...

par contre tu peux nous donner une (ou deux) étape(s) essentielle(s) permettant de valider ces résultats

Posté par
Ragadornre : Intégrales de fonctions trigonométriques 06-12-23 à 17:20

Par linéarité, utilisation de formules trigonométriques et factorisation par \cos^2 {t} au dénominateur, j'obtiens :
I+J=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{dt}{\cos^2 {t}(2-\frac{1}{\cos^2 {t}})}}.
Ensuite, en faisant le changement de variable x=\tan {t}, j'obtiens :
I+J=\int_{0}^{\frac{\sqrt{3} }{3}}{\frac{dx}{1-x^2}}}}.
Puis en factorisant le dénominateur et par décomposition en éléments simples, j'obtiens :
I+J=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3} }{3}}{\frac{dx}{1+x}}}}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3} }{3}}{\frac{dx}{1-x}}}
Par suite, j'obtiens :
I+J=\frac{1}{2}\ln (1+\frac{\sqrt{3}}{3})-\frac{1}{2}\ln (1-\frac{\sqrt{3}}{3})
Puis par calcul sur les logarithmes :
I+J=\frac{1}{2}\ln (2+\sqrt{3})

Y a-t-il du coup des erreurs de raisonnement et/ou de calculs ?

Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Intégrales de fonctions trigonométriques 06-12-23 à 17:59

ça me semble correct ...

Posté par
carpediemre : Intégrales de fonctions trigonométriques 06-12-23 à 18:00

peut-être justifier la validité du changement de variable ...

Posté par
Ragadornre : Intégrales de fonctions trigonométriques 07-12-23 à 08:45

Merci pour votre retour. Je ferai attention à bien rédiger la justification pour le changement de variable.


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