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Niveau Maths sup
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Intégrales de fonctions trigonométriques

Posté par
Ragadorn
06-12-23 à 13:28

Bonjour à tous,
j'ai travaillé sur l'exercice ci-dessous et j'aimerais savoir si mes résultats sont justes :
On pose I=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{\cos ^2t}{\cos (2t)}}dt et J=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{\sin ^2t}{\cos (2t)}}dt.
1) Calculer I+J.
J'ai trouvé I+J=\frac{1}{2}\ln (2+\sqrt{3}). Est-ce juste ?
2) En déduire I et J.
En trouvant que I-J=\frac{\pi }{6}, j'ai trouvé que I=\frac{1}{4}\ln (2+\sqrt{3})+\frac{\pi }{12} et que J=\frac{1}{4}\ln (2+\sqrt{3})-\frac{\pi }{12}.
Est-ce juste ?

Merci d'avance pour vos retours.

Posté par
carpediem
re : Intégrales de fonctions trigonométriques 06-12-23 à 13:47

salut

pour ma part je ne ferai pas les calculs ...

par contre tu peux nous donner une (ou deux) étape(s) essentielle(s) permettant de valider ces résultats

Posté par
Ragadorn
re : Intégrales de fonctions trigonométriques 06-12-23 à 17:20

Par linéarité, utilisation de formules trigonométriques et factorisation par \cos^2 {t} au dénominateur, j'obtiens :
I+J=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{dt}{\cos^2 {t}(2-\frac{1}{\cos^2 {t}})}}.
Ensuite, en faisant le changement de variable x=\tan {t}, j'obtiens :
I+J=\int_{0}^{\frac{\sqrt{3} }{3}}{\frac{dx}{1-x^2}}}}.
Puis en factorisant le dénominateur et par décomposition en éléments simples, j'obtiens :
I+J=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3} }{3}}{\frac{dx}{1+x}}}}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3} }{3}}{\frac{dx}{1-x}}}
Par suite, j'obtiens :
I+J=\frac{1}{2}\ln (1+\frac{\sqrt{3}}{3})-\frac{1}{2}\ln (1-\frac{\sqrt{3}}{3})
Puis par calcul sur les logarithmes :
I+J=\frac{1}{2}\ln (2+\sqrt{3})

Y a-t-il du coup des erreurs de raisonnement et/ou de calculs ?

Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : Intégrales de fonctions trigonométriques 06-12-23 à 17:59

ça me semble correct ...

Posté par
carpediem
re : Intégrales de fonctions trigonométriques 06-12-23 à 18:00

peut-être justifier la validité du changement de variable ...

Posté par
Ragadorn
re : Intégrales de fonctions trigonométriques 07-12-23 à 08:45

Merci pour votre retour. Je ferai attention à bien rédiger la justification pour le changement de variable.



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