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Intégrales de Riemann
Bonjour,
lorsque l'on aborde les intégrales de Riemann en cours, il y'a une fonction que l'on rencontre souvent, qui est celle que je décris ci dessous. De même il y'a beaucoup de propriétés agréables que l'on aimerait montrer.
Je me suis rendu compte que beaucoup de gens ont du mal à répondre à ces questions et je suis surpris:
Une composée de fonctions intégrables (au sens de Riemann) est elle encore intégrable?
La fonction f donnée ci dessous est elle intégrable?
f de [0,1] dans [0,1]
f(x)=0 si x est irrationnel
f(0)=1=f(1)
f(p/q)=1/p si p et q sont copremiers.
Est il possible de trouver une intégrale à une fonction ayant un nombre infinis de points de discontinuité?
J'aimerai avoir votre avis sur ces 3 questions si ca vous intéresse.
Ceux qui connaissent déjà, s'abstenir.
Merci de vos réponses.
Bonne chance à ceux qui passent les concours (oraux?) ENS visiblement pour certains...
Bonsoir !
Je m'essaie pour la troisième question :
la fonction définie sur constante par morceaux :
sur
sur
sur
etc.
_____________________
Je suis nul en maths.
Salut Otto,
Tu l'aimes bien cette fonction là, hein 
On en a déjà parlé donc je m'abstiens.
Une autre question pour Otto : trouver une fonction Riemann-intégrable mais sans primitive sur aucun intervalle.
Tiens et une autre pour la route : si f est mesurable et g continue, est-ce que f°g est forcément mesurable ?
Ah ah ah, je rigole, ce sont des classiques.
Moins connu et plus compliqué:
Soit f une fonction mesurable (lebesgue) sur un compact K de R^n.
Montrer que pour tout e>0 il existe une fonction continue sur K égale à f, sauf sur un ensemble de mesure e.
Connu sous le nom de théorème de Lusin.
J'en connaissais un autre très proche et très utile en analyse fonctionnelle, mais je l'ai oublié.
a+
N_comme_Nul:
Ca marche.
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