Bonjour, je bloque sur cet exercice.
Pouvez-vous m'aider svp?

Soit h la fonction $(x,t)\longrightarrow h(x,t)=\frac{xtsin(t}{x^2-2xcos(t)+1}$ et I=$\int_{0}^{\pi}\frac{tsint(t)}{1-cos(t)}.$


Montrer que I est convergente. Dans ce qui suit, nous présenterons deux méthodes de calcul de I.

Montrer que l'application H: $x\longrightarrow H(x)=\int_{0}^{\pi} \frac{xtsin(t}{x^2-2xcos(t)+1}dt$ est continue sur $[0,1].$

Determiner les suites $(s_n)$ vérifiant la relation de recurrence suivante:

$ \forall n \in \mathbb{N}$, $s_{n+2}-2cos(t)s_{n+1}+s_{n}=0$ pour $t \in ]0,\pi[.$

Montrer que pour $t \in [0,\pi]$ l'application $x\rightarrow h(x,t)$ est développable en série entière au voisinage de 0.
Soit alors $\sum_0^{\infty} a_n(t)x^n$ ce développement en serie entière et R son rayon de convergence.
  

Déterminer l'expression des coefficients $a_n(t)$. Que peut-on dire de R?

Soit $x\in ]0,1[$ fixé.



Montrer que la série $t\rightarrow h(x,t)$ converge normalement sur $[0,\pi].$

En deduire que H est développable en serie entière au voisinage de 0.

Exprimer H(x) a l'aide de fonctions élémentaires pour tout $x\in [0,1[.$


En déduire la valeur de I.


On considère l'équation différentielle:

(E): xy'(x)+y(x)=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{x(1+x}$.


Résoudre (E) sur ]0,1[

Existe-t-il une solution de (E) se prolongeant par continuité sur $[0,1]$ ?

Soit $\phi(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}\frac{tsint(t)}{1-xcos(t)}.$



Montrer que $\phi$ est une application continue sur $[0,1]$, dérivable sur $]0,1[$.

Monter que $\phi$ est une solution de (E) sur $]0,1[$.

\Retrouver la valeur de I.



La première question ne pose pas de problème, j'aurais juste besoin de pistes pour les autres.