2-((kx(2-kx))*(1-kx+2kx))dx

Pour la 1, j'essaierais par parties.

Poser dx = dv  -> v = x
Poser u = arcsin((kx(2-kx))

du = [1/V(1-kx(2-kx))].[(k-k²x)/V(kx(2-kx))] dx   (Avec V pour racine carrée)

du = [k(1-kx)/V(kx(2-kx)(1-kx(2-kx))]dx

du = [k(1-kx)/V(kx(2-kx)(1-kx)²)]dx

Ici attention, pour que l'arsin existe, il faut que -1 <= kx(2-kx)<= 1, ce qui impose 0 <= kx <= 2
et donc 1 - kx peut être soit positif, soit négatif

->
a) si kx est dans ]0 ; 1[, on a: du = [k/V(kx(2-kx))]dx
b) si kx est dans ]1 ; 2[, on a: du = -[k/V(kx(2-kx))]dx


On a alors:
Si kx est dans ]0 ; 1[ ->
S (arcsin((kx(2-kx)) dx = x.(arcsin((kx(2-kx)) - S [kx/V(kx(2-kx))]dx

et si kx est dans ]1 ; 2[ ->
S (arcsin((kx(2-kx)) dx = x.(arcsin((kx(2-kx)) + S [kx/V(kx(2-kx))]dx

Il reste à trouver S [kx/V(kx(2-kx))]dx, soit:
S [V(kx/(2-kx))]dx

Celle-ci peut être ramenée à une primitive de fraction rationnelle, par exemple:

En posant kx/(2-kx) = t²
-> 2/(2-kx) = t²+1
2-kx = 2/(t²+1)
-k dx = [-4t/(t²+1)²]dt
dx = (4/k).[t/(t²+1)²]dt

Et alors: S [V(kx/(2-kx))]dx = (4/k).S [t²/(t²+1)²]dt
Ceci est alors parfois un peu long et ennuyeux mais sans réelle difficulté ...
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Si tu continues dans la voie indiquée, fais-le après avoir vérifié tout ce que j'ai écrit, j'ai tendance à être distrait.  

Remarque: il y a peut-être une méthode plus rapide.
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Sauf distraction.