Bonsoir shelzy01,

oui c'est impeccable!

Bonsoir Tigweg
Ok, je te remercie pour cette réponse qui est trés rapide
Bonne soirée

Avec plaisir shelzy, bonne soirée à toi aussi!

Bonjour à tous

En faite j'ai rencontré un problème
Comme ces intégrales sont trop compliqué à résoudre, on fait un changement de variables (pour l'intégrale ( ) 1)

^-1(D) = { (r,), [0,], 0r1 }

r dr d = ....

Comment a-t-on trouver ceci : [0,], 0r1

En faite je ne vois pas comment on trouve ^-1(D)
Y a t-il une formule ?

Merci d'avance pour vos réponses

Bonjour shelzy01

Tout point x+iy de D a un module r compris entre 0 et 1 et un argument compris entre 0 et pi/2 non?

Inversement, tout complexe de module r compris entre 0 et 1 et d'argument compris entre 0 et pi/2 a ses parties réelle et imaginaire comprises entre 0 et 1 et vérifie x²+y²1.

Il y a donc bien une bijection entre les deux domaines que tu écris(bon pour être rigoureux il faudrait enlever 0 puisque (0,0) est le seul point pour lequel il n'existe pas qu'un seul possible, mais ça ne change rien à la valeur des intégrales que d'enlever un point du domaine d'intégration).

De plus de changement de variable est clairement de classe .

Ok, mais j'ai compris à moitié, j'ai un exercice dans lequel on doit calculer une intégrale double par un changement de variable en coordonnée polaire:

1 / x²+y²

D={ x²+y²1, y0 , x1/2 }

et on a obtenu:

(1 / r) * r dr d = 1 dr d

^-1(D) = { (r,), [0,pi/3], 1/2cosr1 }

en faite r c'est le rayon et téta l'angle
Comment a t-on obtenu ceci ? C'est en faisant un dessin ?
Merci pour ton aide

Oui, en faisant un dessin.

Si tu hachures le domaine D, tu es d'accord sur le fait que le point d'abscisse curviligne maximale est celui d'angle polaire pi/3? (son abscisse, donc le cosinus de son angle polaire, vaut 1/2, et son ordonnée est positive)

Pour tout théta entre 0 et pi/3, la demi-droite d'angle polaire pi/3 coupe D en un segment [AB], reste à caractériser le module r d'un point quelconque du segment [AB] en fonction de théta.

En notant s la distance OA, la condition s'écrit , avec en raisonnant dans un triangle rectangle d'hypoténuse [OA].

Oui, voilà c'est ça mon problème Tigweg, j'ai du mal à me repérer sur un dessin avec téta et r je n'arrive pas à les voir sur mon dessin en faite D c'est ceci (hachuré), j'arrive à localiser D mais trouver entre quoi et quoi et borné r et téta je n'arrive pas, en faite y c'est téta et r c'est x

pourrais-tu m'expliquer en détail stp

Merci d'avance

Pourquoi pi/3 ?
On ne sait pas où D s'arrête ?

OK

Choisis un point M dans ton domaine et trace la demi-droite [OM).

Es-tu déjà d'accord que son angle polaire est compris entre 0 et pi/3?

Le point le plus "haut" de ton domaine est celui où il "s'arrête".

Ce point a un angle polaire d'abscisse 1/2.Or il est sur le cercle trigonométrique, donc le cosinus de son angle polaire vaut 1/2.
Son ordonnée est positive donc l'angle polaire vaut pi/3, à 2pi près.

AHHHH OK, cos(pi/3) = 1/2, donc on cherche un angle dont son cosinus vaut 1/2, d'accord, maintenant j'ai compris comment on trouve l'angle, c'est merci Tigweg

Donc pour dire il va toujours commencer par 0 donc il est compris entre [0,pi/3], maintenant r c'est quoi?

le module de r c'est x²+y²

x = 1/2 et y = 3/2 car sin(pi/3)=3/2

Donc r = x²+y² = (1/2)² + 3/2)² = 1

Donc r 1
Est-ce que j'ai bien compris (c'est la bonne méthode ? )

Mais r c'est quoi sur le dessin

Encore merci pour ton aide Tigweg

Alors r n'est pas le module du "dernier point" du domaine (celui d'angle polaire pi/3), sinon il est bien clair que r vaudrait 1!

Non, r est le module du point M choisi quelconque dans le domaine.

A chaque théta fixé correspondent plein de points M, tous ceux du segment [AB] dont je te parlais, A et B étant les points d'intersection de la droite d'angle polaire théta avec le domaine D.

Donc r va varier entre le module de A et le module de B (puisque M est entre A et B et que ces points sont alignés avec l'origine).Le module de B vaut 1, celui de A se calcule en utilisant des formules de trigo.(voir mon message de 12h45).

Si j'ai bien compris est-ce que [AB] ce trace comme ceci ?

Et AB = r

Le dessin ce n'est pas plutôt:

1). Pourquoi c'est si évident que B vaut 1 ? c'est parce que c'est un cercle trigonométrique ?

2). Est-ce que AB = r ?

3). est-ce que r varie entre x[1/2,1] et y[0,3 / 2] ?

4). Pourquoi pour calculer le module de A on ne fait pas 1 - 1/2 = 1/2 ?

5). Est-ce que tu peux m'expliquer comment on a 1/(2cos) ?

Merci vraiment pour ton aide, c'est sympa Tigweg, merci

Pfiouw, tu as du mal je vois!

Je t'en prie!

Alors déjà c'est ton deuxième dessin qui est correct, ou presque:

Théta est plutôt l'angle entre l'axe des abscisses et [0A).

1)Ce n'est pas B qui vaut 1, mais le module de son affixe, puisqu'il est sur le cercle trigo.

2)Non, tu CHOISIS un point M sur le segment [AB] et tu APPELLES r le module de son affixe.

En effet, on veut faire décrire à M tout le domaine D, et je t'ai donné une vision géométrique d'un moyen d'y arriver:

Tu fais bouger la droite d en faisant varier son angle polaire théta entre 0 et pi/3.

Mais c'est pas fini, il faut encore faire bouger M sur le segment obtenu par intersection de d avec le domaine D.

Faire bouger ce point, c'est donner son module minimum s et son module maximum (qui est 1).

A théta fixé, r varie donc bien entre s et 1.

3)x c'est l'abscisse du point M, elle est bien entre 0,5 et 1; de même pour l'ordonnée y entre 0 et sin(pi/3).

4)Le module s de A, c'est la distance OA, ce n'est donc pas 1-1/2 !

5)Appelle H le projeté orthogonal de A sur les abscisses.

OHA est rectangle en H et l'angle AOH mesure théta, d'où cos(théta)=OH/OA=1/(2OA).

Ainsi on a bien OA=1/(2.cos(théta)).

Convaincue, à présent?

Et OA, c'est s!

OKkk, yo soy SUPER CONVAINCUE
J'ai enfin tout compris, c'est vrai j'ai eu du mal, je ne me souvenais plus très bien des affixes, module etc....D'accord, j'ai tout compris, merci Tigweg pour tes supers explications  , à présent je visualise parfaitement r, merci

Les modules etc...depuis le lycée je n'ai plus vu ceci, donc à force j'oublie (alors que je ne devrais pas ).

Sinon passe une bonne après midi, et merci encore pour tes supers détails.

Génial!

Je suis heureux d'avoir pu t'aider!

Petite question: tu es en fac de maths ou autre?

Je suis surpris que tu ne sois pas familière de l'usage des complexes si tu es en fac de maths;

d'ailleurs j'aurais pu parler tout simplement d'angle polaire et de rayon polaire.

Bonne soirée à toi!

Bonjour Tigweg

Oui, je suis en fac de maths, en deuxième année de licence mathématique - informatique. Il faut dire durant ces 2 années on a pas vraiment fait de complexe, etc..., sauf un peu en analyse pour les intégrales doubles, en quadratique et encore, c'est à nous élèves d'aller rechercher dans nos cours de terminale, première les formules.
Mais l'an prochain, je crois que le programme est hyper concentré sur les espaces etc..., géométrie descriptive .....

Sinon encore merci de m'avoir aidé, et bonne journée à toi

OK, merci de ta réponse!