Niveau autre

intégrales doubles

Posté par luttia (invité) 25-12-05 à 19:28

Bonsoir ,

Voila un exercice sur lequel je planche depuis ce matin ..... je trouve tout sauf le résultat attendu.
Pourriez vous svp , me détailler la méthode surtout pour trouver les limtes du domaine D , merci d'avance.

ln(1+x+y)dxdy

avce D={(x,y)I x+y <=1 ; x>=0; y>=0}

Posté par re : intégrales doubles 25-12-05 à 21:02

Bonsoir luttia

L'application (x,y)ln(1+x+y) est clairement continue sur le compact D. On en déduit que cette intégrale existe et que d'après le théorème de Fubini, on peut intégrer dans l'ordre que l'on désire.
Avant d'écrire quoi que ce soit, il faut déterminer les bornes d'intégration.
On dit pour cela que x varie entre 0 et 1 et que, à x fixé, y varie entre 0 et 1-x.
D'où l'on déduit que $\int \int ln(1+x+y)dxdy=\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1-x}ln(1+x+y)dy)dx$
$\int_{0}^{1-x}ln(1+x+y)dy=[(1+x+y)ln(1+x+y)-(1+x+y)]_{0}^{1-x}=2ln(2)-2-(1+x)ln(1+x)+(1+x)=2ln(2)-2-(1+x)(ln(1+x)-1)$
Donc $\int \int ln(1+x+y)dxdy=\int_{0}^{1}(2ln(2)-2-(1+x)(ln(1+x)-1))dx=2ln(2)-2-\int_{0}^{1}(1+x)(ln(1+x)-1)dx$
Or $\int_{0}^{1}(1+x)(ln(1+x)-1)dx=[\frac{(1+x)^{2}}{2}(ln(1+x)-1)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{(1+x)}{2}dx=2ln(2)-2+\frac{1}{2}-[\frac{(1+x)^{2}}{4}]_{0}^{1}=2ln(2)-2+\frac{1}{2}-(1-\frac{1}{4})=2ln(2)-2+\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=2ln(2)-2-\frac{1}{4}$
Ainsi, $\int \int ln(1+x+y)dxdy=\frac{1}{4}$

Kaiser

Posté par luttia (invité)re : intégrales doubles 26-12-05 à 11:17

Merci encore

Posté par re : intégrales doubles 26-12-05 à 15:03

Je t'en prie !

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