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integrales en changeant de variables

Posté par Polo40 (invité) 05-02-05 à 11:03

Bonjour à tous,
Je doi calculer l'intégrale suivante en posant
ex-1=t2

I= \int_0^{1} \sqrt{ex-1}

Posté par Polo40 (invité)integrales en changeant de variables 05-02-05 à 11:05

Bonjour à tous,
Je doi calculer l'intégrale suivante en posant
ex-1=t2

\int_0^{1}\sqrt{ex-1}



*** message déplacé ***

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 11:17

e^x - 1=t²

e^x dx = 2t dt

dx = [2t/(t²+1)]dt

S V(e^x-1) dx = 2S [t²/(t²+1)]dt   (avec V pour racine carrée).

S V(e^x-1) dx = 2S [(t²+1-1)/(t²+1)]dt = 2.S dt - 2.S dt/(t²+1)

S V(e^x-1) dx = 2t - 2arctg(t) = 2.V(e^x-1) - 2arctg(V(e^x-1))

S(de 0 à 1) V(e^x-1) dx = 2.V(e-1) - 2arctg(V(e-1) - 2.V(1-1) + 2arctg(V(1-1))

S(de 0 à 1) V(e^x-1) dx = 2.V(e-1) - 2arctg(V(e-1))
-----
Sauf distraction.  


*** message déplacé ***

Posté par
Nightmarere : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 11:21

Bonjour

On veut calculer :
\rm I=\Bigint_{0}^{1} \sqrt{e^{x}-1}dx ( attention à ne pas oublier le dx )

En posant :
\rm t^{2}=e^{x}-1\Longrightarrow x=ln(1+t^{2})\Longrightarrow dx=\frac{2t}{1+t^{2}}dt

On a :
\rm x=1\Longrightarrow ln(t^{2}+1)=1\Longrightarrow t=\sqrt{e-1}
et
\rm x=0\Longrightarrow ln(t^{2}+1)=1\Longrightarrow t=0

Il advient :
\rm I=\Bigint_{0}^{\sqrt{e-1}} t\times\frac{2t}{1+t^{2}}dt
ie
\rm I=2\Bigint_{0}^{\sqrt{e-1}} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt

Or
\begin{tabular}\frac{t^{2}}{1+t^{2}}&=&\frac{1+t^{2}-1}{1+t^{2}}\\&=&1-\frac{1}{1+t^{2}}\end{tabular}

En en déduit :
\rm I=2\Bigin_{0}^{\sqrt{e-1}} \[1-\frac{1}{1+t^{2}}\]dt
c-à-d :
\rm I=[2t-2arctan(t)]_{0}^{\sqrt{e-1}}
ie
\rm I=2\sqrt{e-1}-2arctan\(\sqrt{e-1}\)-2\times0+2arctan(0)
Soit au final :
\rm I=2\sqrt{e-1}-2arctan\(\sqrt{e-1}\)


Jord

Posté par Polo40 (invité)re : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 15:09

merci pour vos reponses
Je ne comprends pas à partir de or de la seconde réponses
Pouvez vous m'aidez svp

Posté par
Nightmarere : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 15:21

Que ne comprends-tu pas ?

Tu as bien :
t^{2}+1-1=t^{2}
donc :
\frac{t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{1+t^{2}-1}{1+t^{2}}
c'est a dire :
\frac{t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{1+t^{2}}{1+t^{2}}-\frac{1}{1+t^{2}}
ie
\frac{t^{2}}{1+t^{2}}=1-\frac{1}{1+t^{2}} non ?


Jord

Posté par Polo40 (invité)re : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 15:25

pourquoi on met t2=t2+1-1
c'est bizarre !!!!

Posté par
Nightmarere : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 15:31

Bah pour pouvoir simplifier tiens donc !

En effet , sais-tu facilement calculer une primitive , a premiére vue , de :
\frac{t^{2}}{1+t^{2}} ?
non ...

Mais par contre sais-tu calculer une primitive de :
1-\frac{1}{1+t^{2}} ?
oui , c'est simple , ça nous donne t-arctan(t)

Eh bien grace au changement que j'essaye de t'expliquer on montre que :
\frac{t^{2}}{1+t^{2}}=1-\frac{1}{1+t^{2}} ce qui simplifi la primitivation . C'est une technique trés connue ...

Par exemple pour calculer une primitive de
f(x)=\frac{x}{x+1}
que fait-on ? eh bien on écris :
\begin{tabular}\frac{x}{x+2}&=&\frac{x+2-2}{x+2}\\&=&\frac{x+2}{x+2}-\frac{2}{x+2}\\&=&1-\frac{2}{x+2}\end{tabular}

On en déduit donc une primitive :
F(x)=x-2.ln(x+2)

Compris ? c'est tout simple


Jord

Posté par Polo40 (invité)re : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 15:42

ok merci Nightmare
J'ai enfin compris

Posté par
Nightmarere : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 15:47

Posté par
Nightmarere : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 15:48

Euh oui bien sur tu l'auras compris , c'était :
f(x)=\frac{x}{x+2}


Jord

Posté par Polo40 (invité)re : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 19:27

J'ai une autre question
Je dois calculer les deux intégralse suivantes

1) I=\int_0,5^{1} 4x2-x/racine de (x2+1) dx en posant x=sh(t)

2) I=\int_1^{16} 1/racine de x + 4* racine de x dx en posant x=t4   *le 4 est situé en haut a gauche

Pouvez vous répondre à ce que vous pouvez svp ?
Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 20:03

Bonjour

Pour la premiére :

\rm I_{1}=\Bigint \frac{4x^{2}-x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx

x=sh(t)\Longrightarrow dx=ch(t)dt

On en déduit :
\rm \begin{tabular} I_{1}&=&\Bigint \frac{4sh^{2}(t)-sh(t)}{\sqrt{sh^{2}(t)+1}}.ch(t)dt\\&=&\Bigint \frac{4sh^{2}(t)-sh(t)}{ch(t)}.ch(t)dt\\&=&\Bigint \[4.sh^{2}(t)-sh(t)\]dt\end{tabular}

Je te laisse continuer en sachant que :
\rm sh^{2}(t)=\frac{ch(2t)-1}{2}

2) Je ne comprend pas trés bien l'expression ... si tu pouvais utiliser le latex ou au moin mettre des parenthéses ...


Jord

Posté par Polo40 (invité)re : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 20:14

merci pour la premiere
la deuxième c'est

I=\int_1^{16} (1)/racine de (x) + 4racine de (x) dx en posant x=t4  

Merci

Posté par
Nightmarere : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 20:22

Re

\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}
ou
\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt[4]{x}


Jord

Posté par Polo40 (invité)re : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 21:05

c'est la première
dsl, je n'y arrives pas avec le latex

Posté par
Nightmarere : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 21:17

Bon eh bien allons y :

I=\Bigint \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}dx

En posant le changement de variable :
x=t^{4}\Longrightarrow dx=4t^{3}dt

Nous avons :
I=\Bigint \frac{4t^{3}dt}{\sqrt{t^{4}}+\sqrt[4]{t^{4}}}
ie
I=4\Bigint \frac{t^{3}dt}{t^{2}+t}
En factorisant le dénominateur par t puis en simplifiant :
I=4\Bigint \frac{t^{2}dt}{1+t}

Or nous avons :
\frac{t^{2}}{1+t}=\frac{t(1+t)-t}{1+t}
soit :
\frac{t^{2}}{1+t}=t-\frac{t}{1+t}
et en reprenant ma petite astuce :
\frac{t}{1+t}=\frac{1+t-1}{1+t}
c a d :
\frac{t}{1+t}=1-\frac{1}{1+t}

et donc au final :
\frac{t^{2}}{1+t}=t-1+\frac{1}{1+t}

On en déduit :
I=4.\Bigint \[t-1+\frac{1}{1+t}\]dt
soit :
I=4\(\frac{1}{2}t^{2}-t+ln\(1+t\)\)
c'est a dire :
I=2t^{2}-4t+4ln\(1+t\)

ayant :
t^{4}=x\Longrightarrow t=x^{\frac{1}{4}}

On obtient :
I=2\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}+4ln\(1+\sqrt[4]{x}\)


Jord

Posté par Polo40 (invité)re : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 21:38

merci beaucoup d'avoir été aussi clerc et rapide

Bravo

Posté par
Nightmarere : integrales en changeant de variables 05-02-05 à 21:48

De rien

N'hésite pas si tu rencontre d'autre difficultés


Jord


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