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Intégrales et Dérivations

Posté par
RaphouFou 15-12-18 à 10:54

Bonjour, je bloque sur mon exercice...
J'ai u:x\mapsto \int^1_0 \frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt et v:x\mapsto \left(\int^x_0e^{-t^2}dt\right)^2
J'ai calculé \forall x \in \mathbb{R} \ u'(x) = -2x\int^1_0e^{-x^2(1+t^2)}dt

Il faut en déduire que u+v est constante sur R.
J'ai pensé à calculé u'+v' pour trouver 0 mais je n'y parviens pas
Avez-vous une piste ?
Merci de votre aide

Posté par
Poncarguesre : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 10:57

Sors ton expontielle (en x) de l'intégrale et fais une changement de variable.

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 10:59

Je dois partir de u' + v' dans ce cas ?

Posté par
Poncarguesre : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:01

Oui, tu peux faire ca.

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:03

Pour être sur de v', c'est bien :
v'(x) = 2\int^1_0e^{-t^2}dt\int^x_0e^{-t^2}dt ?

Posté par
Poncarguesre : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:04

Heu, non pas du tout.

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:05

Ah mince comment je devrais dérivé v dans ce cas ?

Posté par
Poncarguesre : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:07

Quel est la dérivée de u^2? Quel est la dérivée de x\mapsto  \int_0^xf(t) dt pour f une fonction continue?
Applique ces deux résultats et tu auras la bonne dérivée.

Posté par
Poncarguesre : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:08

Quand je dis quelle est la dérivée de u^2, je parle pas du u de ton énonce, je parle en general si u est une fonction dérivable, que vaut la dérivée de u^2?

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:16

J'ai donc ceci :
(u^2)' = 2uu'
Avec u' = e^{-x^2}-1 dans notre cas.

Donc v'(x) = 2v(e^{-x^2}-1})

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:17

La dérivée de \int^x_0 f(t)dt est f(x) - f(0)

Posté par
lionel52re : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:22

Hello!
La dérivée de F(0) est quoi?

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:25

F'(0) = f(0) = e^0=1 non ?

Posté par
Poncarguesre : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:29

Citation :
La dérivée de \int^x_0 f(t)dt est f(x) - f(0)

Non!
Revois ton cours.

Posté par
lionel52re : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:31

RaphouFou @ 15-12-2018 à 11:25

F'(0) = f(0) = e^0=1 non ?



Non

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:40

Oulala je me sent bête
Je reprends :
F' = f
\int^x_0 f(t)dt = F(x)-F(0)
Donc la dérivée est F'(x)-F'(0)=f(x) car F'(0) = 0.

Posté par
lionel52re : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:44

Et oups pardon F'(0) = 1 tu as raison, c'est pas ce que je voulais dire.

Ce que je veux dire cest que la dérivée de x \to F(0) est nulle

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 11:51

Pour la dérivée de v on aurait donc :

v'(x) = 2e^{-x^2}\int^x_0e^{-t^2}dt

c'est bien cela ?

Posté par
Poncarguesre : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 12:04

Oui, c'est ca.

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 12:36

Quant au changement de variable, est ce que u = t^2 est adaptée ?

Posté par
Poncarguesre : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 12:38

Non, pourquoi proposes tu celui la?
Tu trouves quoi pour u'+v'?

Posté par
lionel52re : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 12:44

Il faut un cdv simple qui transforme les bornes [0 1] en [0 x]!

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 13:02

Je pensais que ça pouvait être bon.
Apres factorisation j'ai :

u'+v' = 2e^{-x^2}\left(\int^x_0e^{-t^2}dt-x\int^1_0e^{-x^2t^2}dt\right)

Posté par
Poncarguesre : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 13:04

-x\int^1_0e^{-x^2t^2}dt= -\int^1_0e^{(xt)^2}d(xt)

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 13:05

Rahh j'aurais du rafraîchir la page avant mon dernier message :/
J'ai posé u = tx et c'est bon

Posté par
Poncarguesre : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 13:05

J'ai oublié un signe - dans l'exponentielle mais tu saisis l'idée.

Posté par
RaphouFoure : Intégrales et Dérivations 15-12-18 à 13:07

J'ai compris oui
Merci à vous deux !


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