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Intégrales et Intégrations par parties

Posté par
Endeavour 06-11-22 à 11:49

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide sur la question suivante:

Montrer que pour tout x appartenant à R:
\int_{0}^{x}{t\times\frac{2t}{(1+t^2)^2}dt} = \frac{-x}{1+x^2} +arctan(x)

On nous suggère, dans l'énoncé, de faire une intégration par partie.
Vu comment l'intégrale est présentée (t*2t et pas 2t^2 au numérateur), j'ai pris:
u = \frac{2t}{(1+t^2)^2}
v'= t
Afin d'avoir l'expression la plus compliquée à dériver.

Cependant, je tombe sur cette intégrale (deuxième membre de l'intégration par partie): \int_{0}^{x}{\frac{-3t^6-2t^4+t^2}{(1+t^2)^4}dt}

Bref, pas la bonne voie à mon avis (enfin je peux me tromper).

Parce qu'il y a du arctan de l'autre côté de l'égalité, j'ai essayé autre chose:
u = \frac{2t^2}{1+t^2}
v'= \frac{1}{1+t^2}
Comme cela, je reconnais bien arctan en tant que primitive de v'.
Pas la bonne voie non plus je crois, je tombe sur une intégrale encore plus compliquée

A noter que je viens de voir la décomposition en éléments simples, donc techniquement, je peux intégrer ces fonctions rationnelles, mais ce sera long et laborieux et j'ai l'impression que quelque chose m'échappe...

Tout cela pour dire que j'aimerais simplement savoir comment débuter cette intégration par partie, ou si en réalité, il faut faire autre chose qu'une intégration par partie...

Merci d'avance de vos réponses

Posté par
carpediemre : Intégrales et Intégrations par parties 06-11-22 à 11:56

salut

ne vois-tu pas que 2t est la dérivée de 1+ t^2 ?

il semble de raisonnable de poser le contraire (dans ton premier cas)

Posté par
Endeavourre : Intégrales et Intégrations par parties 06-11-22 à 12:16

D'accord, donc cela donnerait:
u = \frac{t}{1+t^2}
v' = \frac{2t}{1+t^2}

D'où:
\left[ln(1+t^2)\times\frac{t}{1+t^2} \right]_0^x - \int_{0}^{x}{ln(1+t^2)\times\frac{(1+t^2)-t\times2t}{(1+t^2)^2}dt}

Ou plutôt
u = t
v' = \frac{2t}{(1+t^2)^2}

Mais dans ce cas, le carré au dénominateur me gêne... (ou je dois ici faire une décomposition en éléments simples ?)

Encore merci.

Posté par
carpediemre : Intégrales et Intégrations par parties 06-11-22 à 12:54

non u(t) = t et v'(t) = le reste

ne connais-tu pas la "formule" u'/u2 à intégrer ?


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