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Intégrales et résidus

Posté par
boob 06-12-07 à 14:49

Bonjour,

pourriez-vous m'éclairer ?

J'aimerais calculer l'intégrale de - à + de f(x) où f(x)=1/[(x4+4)(x²+1)] en intégrant 1/[(z4+4)(z²+1)] sur le chemin fermé C=1/2[-R,R] où est le demi plan complexe supérieur et [-R,R] le segment réel de bornes -R et R  par la méthode des résidus en faisant tendre R vers l'infini.

J'ai une formule dans mon cours qui dit que l'intégrale d'une fonction rationnelle sans pôles réels est égales à 2i* des résidus de f.
Pour calculer les résidus, je trouve les poles et j'utilise une autre formule qui dit que pour un pôle simple z0, le résidu est P(z0)/Q'(z0) quand f=P/Q.
Alors, je trouve 0. Est-ce que c'est bon, ou quelque chose cloche ?


J'aimerais faire la même chose avec la fonction 1/(x6+1), mais je n'arrive pas à calculer les résidus (j'essaie d'utiliser la formule pour les pôles multiples, mais ça ne va pas).


Je crois que j'ai un problème au niveau du calcul des résidus.
Help...


Merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrales et résidus 06-12-07 à 14:55

Bonjour

Comme la fonction est strictement positive, ça m'étonnerait que le résultat soit 0... Les pôles sont i et \sqrt 2 e^{(2k+1)i\pi}/4 pour 0k3.
C'est bien ce que tu fais?

Pour 1/x6+1, les pôles sont tous simples...

Posté par
boobre : Intégrales et résidus 06-12-07 à 15:04

J'ai dû avoir un bug au niveau du calcul du deuxième pôle pour la première fonction.
Je vais refaire ça.

Pour la seconde, j'ai bien trouvé les pôles (i et -i, où je retourne me coucher ?), mais les résidus...?

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrales et résidus 06-12-07 à 15:07

Il y a 6 pôles pour 1/x6+1

Posté par
boobre : Intégrales et résidus 06-12-07 à 15:10

Oui.
A priori, ça ne m'avance pas tellement pour calculer les résidus.

Posté par
LeHiboure : Intégrales et résidus 06-12-07 à 15:43

Ca devrait t'avancer, si les pôles sont tous simples tu peux décomposer la fonction en somme de termes de fa forme P(z)/(z-zi) où les zi sont les pôles, et les résidus en chaque pôle sont les P(zi)

Posté par
boobre : Intégrales et résidus 06-12-07 à 15:54

Je suis confuse.
...
Je suis profondément stupide et je hais l'analyse.
J'aurai sa peau.

Merci .

Posté par
LeHiboure : Intégrales et résidus 06-12-07 à 16:04

C'est pourtant cool l'analyse, ça bouge, c'est vivant...

Posté par
raymond Correcteurre : Intégrales et résidus 07-12-07 à 00:17

Bonsoir.

Je suppose R > 2$\sqrt{2}

En reprenant la décomposition en éléments simples de f(z) et en ne cherchant que les coefficients associés aux trois pôles intérieurs au circuit, à savoir : a = 1+i ; b = -1+i ; c = i

je trouve respectivement

3$\textrm \fra{-3+i}{80} \fra{1}{z-1-i} + \fra{3+i}{80} \fra{1}{z+1-i} + \fra{-i}{10} \fra{1}{z-i}

Donc :

3$\textrm\Bigint_{\Gamma}f(z)dz = 2i\pi (\fra{-3+i}{80} + \fra{3+i}{80} + \fra{-i}{10}) = \fra{3\pi}{20}

Ensuite, comme toujours on prouve que l'intégrale le long du demi cercle tend vers zéro lorsque R tend vers l'infini.

Finalement :

3$\textrm\fbox{\Bigint_{-\infty}^{+\infty}\fra{dx}{(x^2+4)(x^2+1)} = \fra{3\pi}{20}}


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