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Intégrales et suites
bonsoir à tous!!
j'ai un exo de DM qui me parait assez obscur, et j'avoue que je ne vois vraiment pas comment démarrer...
soit f:[0,1] -> R continue sur [0,1] telle que f(1) différent de 0.
soit epsilon:[0,1] -> R, continue sur [0,1] telle que epsilon(1)=0
pour tout n € N, on pose
In= intégrale entre 0 et 1 de (tn).f(t) dt
Jn=intégrale entre 0 et 1-(1/(racine de n)) de
(tn).f(t) dt
Kn= intégrale entre 1-(1/(racine de n)) et 1 de
(tn).f(t) dt
thetan= n. (intégrale entre 1-(1/(racine de n)) et 1 de (tn).epsilon(t) dt
1) démontrer que (In)n converge vers zéro
2) démontrer que (nJn)n converge vers zéro
3) a) démontrer que (thetan)nconverge vers zéro
on pourra utiliser
alphan=sup de valeur absolue de epsilon sur [1-(1/(racine de n)),1]
b) en déduire que lim en +infini de
(nKn)n=K ou K est un réel non nul que l'on précisera
4) déduire des questions précédentes un équivalent de In
je précise bien que je ne désire pas que l'on me fasse le dm, mais juste qu'on me donne quelques petites pistes à explorer pour trouver la solution...
merci d'avance
Bonsoir calamity jane
1) Utilise le fait que f est continue pour effectuer une majoration pas trop brutale de l'intégrande.
2)Même conseil.
3) a) Utilise la majoration proposée ainsi que la continuité de epsilon en 1.
b) Astuce : f(t)=(f(t)-f(1))+f(1).
Ensuite, utilise la question précédente.
Kaiser
ok merci kaiser je vais essayer et je mettrais ce que j'aurais trouvé pour correction
bonne soirée
calamity jane
re à tous!!
alors comme promis je mets ce que j'ai trouvé pour correction. soyez indulgent si vous remarquez des grosses bourdes j'ai du mal avec ce genre d'exos et une fâcheuse tendance à inventer des solutions...
pour la 1)
vu que l'intégrale est positive, j'ai majoré par (tn+1/n+1)*f(1)
et comme t
1, avec le théorème des gendarmes ça converge vers 0
pour la 2)
idem pour la majoration, le fait qu'il y ait une multiplication par n ne change rien, car tn+1
0 quand n+
et n/(n+1) tend vers 1 et f(1)
puis théorème des gendarmes
pour la 3a)
j'utilise la def de borne sup pour dire que
thetan(n*tn+1)/(n+1))*
11-1/(racine de n)alphan dt
or comme 11-1/(racine de n)alphan dt est un réel, d'après le thm des gendarmes, thetan converge vers 0
pour la 3b)
je bloque
idem pour la 4)
merci et dsl si y a des énormités lol
Il suffit de remarquer que, comme f est continue, elle est bornée. Tu peux donc majorer la valeur absolue de l'intégrande très facilement.
re!!
j'ai appliqué ce que tu m'as dit pour les 3ères questions et ça marche bien par contre j'ai encore un p'tit truc dont je suis pas tout à fait sure
la borne supérieure de f (resp epsilon) sur [0,1-1/(racine de n)] est bien inférieure ou égale à la borne sup de f (resp epsilon) sur [0,1]? ça me parait logique, mais bon...
et pour alphan, je dois prendre le maximum de toutes les bornes supérieures pour majorer l'intégrale, sinon alphan dépend encore de n...non?
Pour ta première question, l'inégalité est vraie.
Pour ta deuxième question, dépendra de n de toutes façons.
Par contre, je ne comprends pas ceci :
je dois prendre le maximum de toutes les bornes supérieures
ben en fait comme on ne sait rien de la variation de (alphan)n, mais que les termes de cette suite sont réels, je pensais prendre le réel le plus élevé de tous, pour ne pas avoir à extrapoler sur la variation de (alphan)n...
ah oui c'est vrai, puisque [1-1/(racine de n),1] tend vers {1}, et par continuité de epsilon en 1, et que epsilon(1)=0, alors lim alphan=0
n->+oo
c ça??
Au début, c'est mal dit mais l'idée est là.
Je te conseille plutôt dire ceci :
étant continue sur le segment
, il existe
dans cet intervalle vérifiant
.
Il est alors clair que la suite converge vers 1 et donc par continuité de
en 1,
tend vers
Kaiser
nickel merci!!
sinon pour la question 3b), je pense que le réel K est f(1), mais je n'arrive pas à le justifier rigoureusement, je pensais majorer nKn-f(1) en valeur absolue, mais je n'y arrive pas, je n'arrive à le majorer que par Mf-f(1) 
(Mf étant la borne sup de f sur [0,1]
En fait, tu n'as pas à te fatiguer.
Plus haut, je t'avais indiquer l'astuce f(t)=(f(t)-f(1))+f(1))=g(t)+f(1), avec g(1)=0.
Ainsi, tu peux appliquer le résultat de la question 3)a).
c vrai c vrai lol
et pour la question 4), il faut que je fasse une combinaison des suites que l'on m'a demandé d'étudier?
par exemple partir du fait que
In=Jn+Kn, 
n
Oui, c'est bien ça !
Remarque : on a bien le droit d'écrire cette équivalence car f(1) est supposé non nul.
merci grâce à vous j'ai fini mon dm
par contre, j'peux demander un p'tit éclaircissement.
"on a bien le droit d'écrire cette équivalence car f(1) est supposé non nul."
ça veut dire que si f(1)=0, on peut mettre n'importe quel équivalent, du moment que l'équivalent que l'on met tend vers 0??
Ce n'est pas ce que j'ai dit (d'ailleurs c'est faux).
Ce que j'entendais par là, c'est que l'on a pas le droit d'écrire "équivalent à zéro"
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