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Intégrales généralisées

Posté par Nunuche (invité) 20-02-06 à 14:52

Bonjour,
je dois calculer l'intégrale de 1 à + l'infini de 1/((t^1/3)*(1+t)) et je n'arrive pas à trouver la primitive de cette fonction pour pouvoir ensuite calculer sa limite.
J'ai essayé l'intégration par parties qui ne marche pas et le changement de variable en posantx=t^1/3 mais je suis coincée une fois le changement effectué.
Pourriez vous m'aider?? merci!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Intégrales généralisées 20-02-06 à 14:59

Bonjour,

Avec ton changement de variable, on aboutit à une fraction rationnelle qui doit être intégrable, non ?

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Intégrales généralisées 20-02-06 à 15:29

En effet, il suffisait de dérouler les calculs...

Soit A>1.

3$\Bigint_1^A\frac{\mathrm{d}t}{t^{1/3}(1+t)}
3$=\Bigint_1^{A^3}\frac{3u\mathrm{d}u}{1+u^3}
3$=\Bigint_1^{A^3}\left{\frac{u+1}{u^2-u+1}-\frac{1}{u+1}\right}\mathrm{d}u
3$=\left[\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{2\sqrt{3}x-\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}\ln(x^2-x+1)-\ln(1+x)\right]_0^{A^3}
3$=\left[\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{2\sqrt{3}x-\sqrt{3}}{3}+\ln\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}\right]_0^{A^3}
3$\to \frac{\pi\sqrt{3}}{2}+0-\frac{\pi\sqrt{3}}{6}+\ln 2=\frac{\pi\sqrt{3}}{3}+\ln 2\simeq 2,5069

Sauf erreur.

Nicolas


Posté par Nunuche (invité)re : Intégrales généralisées 20-02-06 à 17:47

merci, je viens de comprendre, en fait, je savais plus comment faire ac 1/1+t^3!! merci beaucoup!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Intégrales généralisées 21-02-06 à 03:39

Je t'en prie.


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