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Niveau Maths sup
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Intégrales généralisées : En déduire une limite après une IPP

Posté par
felessse
27-11-22 à 20:12

Bonjour tout le monde,
Voici l'énoncé de mon exercice :
soit f une fonction C1 sur [0,  +\infty[, à valeurs réelles telles que les fonctions t ->t2f2(t) et t->f'2(t) soient intégrables sur [0, +\infty[
a) montrer que la fonction t ->tf(t)f'(t) est intégrable sur [0, +\infty[
b) Montrer que, pour tout x > 0 :
xf2(x) = \int_{0}^{x}{f^{2}(t)dt}+2\int_{0}^{x}{tf(t)f'(t)dt} et déduisez-en que \lim_{x \to +\infty } xf^{2}(x)=0

L'exercice continue en nous faisant utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz afin de démontrer une inégalité sur des intégrales donc je pense pouvoir réussir la suite.

J'ai réussi la question a) en utilisant l'inégalité 2ab<a2+b2

C'est la question b) qui me pose problème. J'ai l'égalité demandé à l'aide d'une intégration par partie (IPP) mais je ne n'arrive pas en déduire la limite demandée.  
J'ai essayé d'écrire 2f(t)f'(t) comme f'2(t), de refaire une
IPP mais cela ne mène à rien. Je suppose que cela doit être bien plus simple puisque c'est formulé comme une déduction.

Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci beaucoup d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Intégrales généralisées : En déduire une limite après une I 27-11-22 à 20:37

Bonsoir


il me semble que si la fonction t\mapsto t^2f^2(t) est intégrable sur [0,+\infty[


alors il en est de même pour la fonction t\mapsto f^2(t) non ?

Posté par
felessse
re : Intégrales généralisées : En déduire une limite après une I 27-11-22 à 21:01

elhor_abdelali @ 27-11-2022 à 20:37

Bonsoir


il me semble que si la fonction t\mapsto t^2f^2(t) est intégrable sur [0,+\infty[


alors il en est de même pour la fonction t\mapsto f^2(t) non ?


Merci beaucoup de votre réponse.

Cela est justement la question c) de mon exercice :
montrer que t->f2(t) est intégrable
Oui ça semble être le cas mais ce n'est pas immédiat. Il faudrait que je majore t-> f2(t) par quelque chose d'intégrable. Je n'y ai pas encore réfléchi car c'était la question suivante de mon exercice. Je viens de penser à ça mais ce raisonnement est faux si t <1
\forall  t \in \left[ 0, +\infty  \right], f^{2}(x) <= t^{2}f^{2}(t)

Est-ce utile pour en déduire la limite de xf2(x) ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Intégrales généralisées : En déduire une limite après une I 27-11-22 à 21:28

Citation :
Voici l'énoncé de mon exercice :
soit f une fonction C1 sur [0, +\infty[, ...


la borne 0 ne pose pas de problème pour l'intégrabilité de f^2 sur [0,+\infty[

et pour la borne +\infty il me semble que ta majoration sur [1,+\infty[ de f^2 par x^2f^2 est bonne

sinon tu peux carrément dire que f^2 est un petit taux de x^2f^2 en +\infty

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Intégrales généralisées : En déduire une limite après une I 27-11-22 à 21:44

Citation :
Est-ce utile pour en déduire la limite de xf2(x) ?



il me semble que oui puisqu'on aura :


\lim_{x\to+\infty} xf^2(x)=\int_0^{+\infty}f^2(x)dx+2\int_0^{+\infty}xf(x)f'(x)dx=\ell\in\mathbb R_+


puis on déduit facilement que \ell=0 vu que sinon on aurait f^2\sim\frac{\ell}{x} en +\infty

et ceci contredirait clairement le fait que x^2f^2 est intégrable sur [0,+\infty[

Posté par
felessse
re : Intégrales généralisées : En déduire une limite après une I 27-11-22 à 21:51

elhor_abdelali @ 27-11-2022 à 21:28

Citation :
Voici l'énoncé de mon exercice :
soit f une fonction C1 sur [0,  +\infty[, ...


la borne 0 ne pose pas de problème pour l'intégrabilité de f^2 sur [0,+\infty[

et pour la borne +\infty il me semble que ta majoration sur [1,+\infty[ de f^2 par x^2f^2 est bonne

sinon tu peux carrément dire que f^2 est un petit taux de x^2f^2 en +\infty


Oui  c'est vrai merci beaucoup.  
J'aurai dû y penser au fait que la borne de départ de l'intégrale n'était pas importante pas relation de Chasles :
\int_{0}^{+\infty }{f} \text{ converge si et s.si} \int_{1}^{+\infty }{f} \text{ converge}}
ce qui me permet de justifer que ma majoration est correcte et que t->f2(t) est intégrable.

C'est très élégant je trouve de voir ça comme un petit taux aussi.

Avez-vous une idée pour le dernière partie de la question b) qui est : \lim_{x \to +\infty } xf^{2}(x) =  0} ?

Posté par
Razes
re : Intégrales généralisées : En déduire une limite après une I 28-11-22 à 10:01

Bonjour,

Pour la a) il vaut mieux utiliser la valeur absolue pour éviter la discussion du signe de f'.

2\left| ab \right|\leqslant \left|a \right|^{2}+\left|b \right|^{2}

ou utiliser:
\int_{0}^{x}\left| tf(t)f'(t) \right|dt\leqslant \left ( \int_{0}^{x}\left| tf(t) \right|^2dt \right )^{\frac{1}{2}}\left ( \int_{0}^{x}\left| f'(t) \right|^2dt \right )^{\frac{1}{2}}

Posté par
felessse
re : Intégrales généralisées : En déduire une limite après une I 28-11-22 à 20:29

elhor_abdelali
@ 27-11-2022 à 21:44


Citation :
Est-ce utile pour en déduire la limite de xf2(x) ?



il me semble que oui puisqu'on aura :


\lim_{x\to+\infty} xf^2(x)=\int_0^{+\infty}f^2(x)dx+2\int_0^{+\infty}xf(x)f'(x)dx=\ell\in\mathbb R_+


puis on déduit facilement que \ell=0 vu que sinon on aurait f^2\sim\frac{\ell}{x} en +\infty

et ceci contredirait clairement le fait que x^2f^2 est intégrable sur [0,+\infty[


Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre hier soir. Je ne pensais pas que quelqu'un me répondrait un dimanche soir aussi tard. J'ai vraiment apprécié votre aide.

Je n'avais pas vu le message où me disiez pourquoi c'était utile pour déterminer la limite. En fait c'était un exercice que je devais présenter à l'oral.

Mon professeur m'a montré comment par l'absurde et en utilisant le th de la limite monotone,  on pouvait montrer que la limite de xf2(x) était nulle avant de montrer que t->f2(t) était intégrable. Cela utilisait l'argument que vous aviez donné.

Bonne soirée

Posté par
felessse
re : Intégrales généralisées : En déduire une limite après une I 28-11-22 à 20:34

elhor_abdelali
@ 27-11-2022 à 21:44


Citation :
Est-ce utile pour en déduire la limite de xf2(x) ?



il me semble que oui puisqu'on aura :


\lim_{x\to+\infty} xf^2(x)=\int_0^{+\infty}f^2(x)dx+2\int_0^{+\infty}xf(x)f'(x)dx=\ell\in\mathbb R_+


puis on déduit facilement que \ell=0 vu que sinon on aurait f^2\sim\frac{\ell}{x} en +\infty

et ceci contredirait clairement le fait que x^2f^2 est intégrable sur [0,+\infty[


Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre hier soir. Je ne pensais pas que quelqu'un me répondrait un dimanche soir aussi tard. J'ai vraiment apprécié votre aide.

Je n'avais pas vu le message où me disiez pourquoi c'était utile pour déterminer la limite. En fait c'était un exercice que je devais présenter à l'oral.

Mon professeur m'a montré comment par l'absurde et en utilisant le th de la limite monotone,  on pouvait montrer que la limite de xf2(x) était nulle avant de montrer que t->f2(t) était intégrable. Cela utilisait l'argument que vous aviez donné.

Bonne soirée
Razes @ 28-11-2022 à 10:01

Bonjour,

Pour la a) il vaut mieux utiliser la valeur absolue pour éviter la discussion du signe de f'.

2\left| ab \right|\leqslant \left|a \right|^{2}+\left|b \right|^{2}

ou utiliser:
\int_{0}^{x}\left| tf(t)f'(t) \right|dt\leqslant \left ( \int_{0}^{x}\left| tf(t) \right|^2dt \right )^{\frac{1}{2}}\left ( \int_{0}^{x}\left| f'(t) \right|^2dt \right )^{\frac{1}{2}}


Bonsoir,

Merci d'avoir pris le temps de le préciser. En effet j'avais utilisé la valeur absolue sur ma copie mais je ne l'avais pas précisé dans mon message sur le forum (je voulais juste montrer que j'avais l'idée) et vous avez bien fait de me le signaler. J'aurais pu totalement avoir fait l'erreur.

Bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Intégrales généralisées : En déduire une limite après une I 28-11-22 à 21:50

Citation :
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre hier soir. Je ne pensais pas que quelqu'un me répondrait un dimanche soir aussi tard. J'ai vraiment apprécié votre aide.


C'est un plaisir felessse



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