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integrales generalises

Posté par
darchov 25-09-07 à 18:21

bonjour
j'ai un ptit soucis avc cette exercice dont j'ai du mal a comprendre la correction :
etudier la convergence des integrales:
integrale de 0 à + l'infini t^(alpha)e^(-t)dt.
il commence comme ça il existe T0>0 tq pour tout t>(ou=)T0 t^(alpha)e^(-t)<(ou=) 1/(t^2)
et la je bug il sort ça d'ou ??
et il fait des trucs du meme genre durant tt le td eclairez moi svp

Posté par Binouze_Flip (invité)re : integrales generalises 25-09-07 à 18:58

Bonjour

Je te rédige ça au propre. Etudions la nature de l'intégrale \int_{0}^{+ \infty} f(t)dt avec f(t)= t^{\alpha}e^{-t}

* f est continue sur [0,+ \infty[

* \forall t \in [0,+ \infty[ t^2f(t)= t^{\alpha + 2}e^{-t}

Or \lim_{t \to + \infty} t^2f(t) = 0 (par croissances comparées)

Par définition de la limite on peut donc écrire que :

\forall \epsilon > 0,\exists t_0 > 0, \forall t \ge t_0,| t^2f(t)| \le \epsilon

En posant \epsilon = 1 on a donc :
          
                       \exists t_0 > 0, \forall t \ge t_0,| f(t)| \le \fra{1}{t^2}

Par conséquent, \int_{t_0}^{+ \infty} f(t)dt converge et ainsi \int_{t_0}^{+ \infty} f(t)dt converge (théorème de comparaison en utilisant le fait que \int_{t_0}^{+ \infty} \frac{1}{t^2} dt est une intégrale de Riemann convergente.

Posté par Binouze_Flip (invité)re : integrales generalises 25-09-07 à 19:01

et ainsi \int_{0}^{+ \infty} f(t)dt converge dsl petite erreur ^^

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrales généralisées. 25-09-07 à 19:14

Bonjour ;

le réel \alpha est positif ?

Posté par
darchovre : integrales generalises 25-09-07 à 19:14

rappelle moi les croissances comparees et comment tu les utilises ds le cas present merci a toi

Posté par
darchovre : integrales generalises 25-09-07 à 19:15

et cela te viens d'ou le fait d'introduire t^2 ?

Posté par Binouze_Flip (invité)re : integrales generalises 25-09-07 à 19:16

certes pour le [tex] \alpha [\tex] on n'en sait rien mais dans ma redaction il est evidemment positif

Posté par Binouze_Flip (invité)re : integrales generalises 25-09-07 à 19:17

oups \alpha xD

Posté par Binouze_Flip (invité)re : integrales generalises 25-09-07 à 19:37

Citation :


re : integrales generalises
profil de darchovposté par : darchov
et cela te viens d'ou le fait d'introduire t^2 ?



J'utilse un critère très utile pour les intégrales généralisées qui est le suivant :

f continue sur un intervalle de la forme [a,+ \infty]

s'il existe \alpha > 1 tel que \lim_{t \to + \infty} t^{\alpha}f(t) = 0 alors l'intégrale généralisée \int_{a}^{+ \infty} f(t)dt est convergente

Citation :


re : integrales generalises
profil de darchovposté par : darchov
rappelle moi les croissances comparees et comment tu les utilises ds le cas present merci a toi



C'est un resultat que tu dois connaitre et que tu as d'ailleurs vu en terminale. Tu sais que l'exponentielle l'emporte sur les puissances. On a :

pour tout réel \alpha strictement positif on a : \lim_{t \to + \infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t} = 0

Posté par
darchovre : integrales generalises 25-09-07 à 20:34

pourquoi t^2 et pas t ou t^3 ça change qqchose ?

Posté par
darchovre : integrales generalises 25-09-07 à 21:03

et pour l'integrable de 0 a + l'infini de e^(-t^2)dt tu fais comment pour en deduire que c'est inferieur a 1/(t^2) ? merci de ton aide.

Posté par Binouze_Flip (invité)re : integrales generalises 25-09-07 à 21:29

1) il te suffit de trouver dans ce cas un réel \alpha strictement plus grand que 1 (d'après le critère). Ici on peut prendre \alpha = 2 ou \alpha = 3 ça marche ! Pour \alpha = 1 ça ne marche pas ! En effet , certes on a bien si on considere la fonction f que l'on a utilisé auparavant : \lim_{t \to + \infty} tf(t)=0 . Mais en utilisant le même raisonnement qu'auparavant en utilisant la définition de la limite on a que :
pour t>to , |f(t)| \le \frac{1}{t} mais \int_{t_0}^{+ \infty} \frac{1}{t} dt est une intégrale de Riemann divergente ! (on ne peut donc pas en conclure sur la convergence)

Rappel : b>0,  ( \int_{b}^{+ \infty} \frac{1}{t^{\alpha}} dt converge) \Leftrightarrow ( \alpha > 1 )

2)Nature de   \int_{0}^{+ \infty} e^{-t^2} dt

Pour \alpha = 2 tu as bien : \lim_{t \to + \infty} \frac{t^2}{e^{t^2}}=0

Par conséquent, en utilisant le raisonnement de tout à l'heure en revenant à la définition de la limite on en déduit que :
              
     \forall \epsilon >0, \exists A>0, \forall t \ge A, |t^2e^{-t^2}| \le \epsilon   

On a donc : 0 \le e^{-t^2} \le \frac{1}{t^2}   


  

Posté par Binouze_Flip (invité)re : integrales generalises 25-09-07 à 21:46

en prenant \epsilon = 1   bien sur

Une question pour la nature de l'intégrale \int_{0}^{+ \infty} t^{\alpha}e^{-t}dt On te demande de trouver la nature pour seulement \alpha positif ou pour toutes les valeurs de \alpha ?

En tout cas d'apres ma solution de tout à l'heure on a vu que : pour \alpha > 0, l'intégrale converge

Posté par
darchovre : integrales generalises 25-09-07 à 22:01

j'ai compris ta methode ms pour des integrales comme celle ci ta methode ne peut plus s'appliquer :      integrale de e à +l'infini de dt/lnt
integrale de 0 a + l'infini de dt/((1+e^t)(1+e^(-t)))
integrale de 1 a +linfini de (racinecaree(t)+lnt)/t dt

merci de bien detailler ta methode comme ça ça me donneras un panel de methode a utiliser
merci a toi tu m'aides bcp.

ds l'enoncé c noté alpha un reel..

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrales généralisées. 25-09-07 à 22:30

Un équivalent simple en 0^+ de t^{\alpha}e^{-t} étant t^{\alpha} on voit que l'intégrale \int_{0}^{+\infty}t^{\alpha}e^{-t}dt converge si et seulement si \red\fbox{\alpha>-1}

Posté par Binouze_Flip (invité)l 26-09-07 à 00:38

Rebonsoir,

\int_{0}^{+ \infty}\frac{dt}{t^{\alpha}} converge si et seulement si \alpha>1 ?

elle est plutot divergente..

En effet ! dans ce cas (\alpha>1) \int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{\alpha}} diverge!

Soit x \in ]0,1[.

Alors, \int_{x}^{1}\frac{dt}{t^{\alpha}} = [\frac{t^{- \alpha + 1}}{- \alpha + 1}] (pris entre x et 1 je sais pas ecrire en latex les bornes ^^)
                    = \frac{x^{- \alpha + 1}}{\alpha - 1} - \frac{1}{- \alpha + 1} --> + \infty lorsque x tend vers 0^+

l'intégrale généralisée \int_{1}^{+ \infty}\frac{dt}{t^{\alpha}} converge ssi \alpha>1


Résultat des courses :

                  \int_{0}^{+ \infty}\frac{dt}{t^{\alpha}} diverge si et seulement si \alpha>1


En revenant à nos moutons ,

                    \int_{0}^{+ \infty}{t^{\alpha}}e^{-t}dt diverge si et seulement si \alpha>-1

Il reste à voir les autres cas .. mais avant dodo je reviendrai plus tard je suis mort

Binouze

Posté par
darchovre : integrales generalises 26-09-07 à 19:00

merci peut tu m'eclairer pour les autres cas stp .
enme detaillant ta methode a chaque fois si possible merci bcp

Posté par
darchovre : integrales generalises 28-09-07 à 18:03

pouvez vous m'aider svp merci a vous tous


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