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intégrales impropres

Posté par
Redman 22-10-07 à 19:51

bonjour

soit f une fonction positive continue sur [a,+oo[ telle que f tend vers +oo en +oo

peut on montrer que dans ce cas tres précis (continuité), \int_{a}^{+\infty} f diverge?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales impropres 22-10-07 à 19:54

Bonsoir Redman

la continuité n'est pas utile (continue par morceaux suffit amplement).
Effectivement, on peut le montrer : pour ce faire, il suffit de remarquer que pour x assez grand, on a par exemple \Large{f(x)\geq 1}.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : intégrales impropres 22-10-07 à 19:56

Bonsoir,

hmm même sans hypothèses aucune sur f.

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales impropres 22-10-07 à 20:00

Cauchy > enfin quand même mesurable tout de même mais bon vu que Redman est en spé, je n'ai pas trop voulu en parler.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : intégrales impropres 22-10-07 à 20:01

Oui enfin faut quand même que l'intégrale ait un sens

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales impropres 22-10-07 à 20:03

Cauchy > bon, disons mesurable positive et localement intégrable. ça va là ?!

Kaiser

Posté par
Cauchyre : intégrales impropres 22-10-07 à 20:05

Oui

Posté par
Redmanre : intégrales impropres 22-10-07 à 20:07

bonsoir Kaiser

bah nan j'ai un contre exemple d'une fonction continue par morceau...

on prend une subdivision xn de IR +

f(x) = \sqrt {n} sur [x_n, \frac{x_n + x_{n+1}}{2}]
et
f(x) = -\sqrt {n} sur [\frac{x_n + x_{n+1}}{2},x_{n+1}]

en prenant la subdivision telle que Xn = ln (n)

en effet

\int_{0}^{x_n} f = 0
donc
abs(\int_{0}^{x} f) \le \sqrt{n} \times ln(\frac {n+2}{n+1}) qui est équivalent a \frac{1}{\sqrt{n}} donc qui est bien intégrable ...

Posté par
Redmanre : intégrales impropres 22-10-07 à 20:07

et dont le module tend vers  +OO

Posté par
Cauchyre : intégrales impropres 22-10-07 à 20:08

Elle est pas très positive ta fonction non?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrales impropres 22-10-07 à 20:09

Redman > on a dit positive, non ?

Kaiser

Posté par
Redmanre : intégrales impropres 22-10-07 à 20:46

ah oui exact, au temps pour moi...


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