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Intégrales impropres !

Posté par Liloue (invité) 11-11-05 à 23:04

  Bonjour à tous !
j'attaque ma 2eme année de prépa et on débute avec les intégrales impropres et en fouillant un peu les exos "types" de mon bouquin je suis tombée sur quelques difficultés...

\textrm In= \int_0^{\infty} f(t) dt avec f(t)=\frac{sint}{t}^n Sp= \int_0^{\pi} f(t) dt les suites ap= S_{2p} et bp= S_{2p+1} sont adjacentes et de limite commune In

Montrer que In est strictement positive pour n supérieur ou égal à 2

***edit jerome : erreur LaTeX corrigée***

Posté par Liloue (invité)re : Intégrales impropres ! 11-11-05 à 23:05

ou je doi avoir un problème avec le latex..
il faut enlever les [?] et les <br/> pour comprendre...

Posté par
stokastikre : Intégrales impropres ! 12-11-05 à 12:13


  Je ne comprends pas ton énoncé, il y a un ou deux problèmes...

Posté par Liloue (invité)re : Intégrales impropres ! 12-11-05 à 15:54

eh ben juste1 la chose qui me pose problème c'est de démontrer que l'intégrale impropre est strictement positive...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intégrales impropres ! 12-11-05 à 18:46

Bonjour;
3$\fbox{n} est un entier naturel non nul (qu'on fixe dés le départ)
3$\fbox{I_n=\int_{0}^{+\infty}\frac{sin^n(t)}{t}dt} 3$\fbox{\forall p\in\mathbb{N}\\S_p=\int_{0}^{p\pi}f(t)dt\\a_p=S_{2p}\hspace{5}\hspace{5}b_p=S_{2p+1}}
Je crois que l'exercice propose une façon de montrer la convergence de l'intégrale 3${I_n}

Sauf erreurs..

Posté par Liloue (invité)re : Intégrales impropres ! 12-11-05 à 22:38

Pour le moment j'ai juste besoin de montrer la stricte positivité de l'intégrale pour n superieur ou égal à 2...
et la fonction c'est (sint/t)^n

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intégrales impropres ! 12-11-05 à 22:42

3$\fbox{f{:}[0,+\infty[\to\mathbb{R}\\t\to\frac{sin^n(t)}{t}} il est facile de voir que 3$f est continue (prolongeable par continuité en 3$0) les suites 3$(S_p)\hspace{5},\hspace{5}(a_p)\hspace{5}et\hspace{5}(b_p) sont donc bien définies.
(*)3$\fbox{\forall p\ge1\\|b_p-a_p|=|S_{2p+1}-S_{2p}|=|\int_{2p\pi}^{(2p+1)\pi}\frac{sin^n(t)}{t}dt|\le\int_{2p\pi}^{(2p+1)\pi}\frac{1}{t}dt=ln(\frac{(2p+1)\pi}{2p\pi})\{{\to0\\p\to+\infty}
(*)3$\hspace{5}croissance\hspace{5}de\hspace{5}(a_p):
3$\fbox{a_{p+1}-a_p=S_{2p+2}-S_{2p}=\int_{2p\pi}^{(2p+2)\pi}\frac{sin^n(t)}{t}dt} et avec le changement de variable 3$\fbox{t\to u=t-2p\pi} 3$\fbox{a_{p+1}-a_p=\int_{0}^{2\pi}\frac{sin^n(u+2p\pi)}{u+2p\pi}du=\int_{0}^{\pi}\frac{sin^n(u)}{u+2p\pi}du+\int_{\pi}^{2\pi}\frac{sin^n(u)}{u+2p\pi}du} dans la seconde intégrale faisons le nouveau changement de variable 3$\fbox{u\to v=u-\pi} on a alors que 3$\fbox{a_{p+1}-a_p=\int_{0}^{\pi}\frac{sin^n(v)}{v+2p\pi}dv+\int_{0}^{\pi}\frac{sin^n(v+\pi)}{v+(2p+1)\pi}dv=\int_{0}^{\pi}(\frac{1}{v+2p\pi}+\frac{(-1)^n}{v+(2p+1)\pi})sin^n(v)dv>0} (discuter suivant la parité de 3$n)
(*)3$decroissace\hspace{5}de\hspace{5}(b_p)
3$\fbox{b_{p+1}-b_p=S_{2p+3}-S_{2p+1}=\int_{(2p+1)\pi}^{(2p+3)\pi}\frac{sin^n(t)}{t}dt} et avec le changement de variable 3$\fbox{t\to u=t-(2p+1)\pi} 3$\fbox{b_{p+1}-b_p=\int_{0}^{2\pi}\frac{sin^n(u+(2p+1)\pi)}{u+(2p+1)\pi}du=\int_{0}^{2\pi}\frac{(-1)^{n}sin^n(u)}{u+(2p+1)\pi}du=\int_{0}^{\pi}\frac{(-1)^{n}sin^n(u)}{u+(2p+1)\pi}du+\int_{\pi}^{2\pi}\frac{(-1)^{n}sin^n(u)}{u+(2p+1)\pi}du} de m^me faisons dans la seconde intégrale le changement de variable 3$\fbox{u\to v=u-\pi} on a alors que 3$\fbox{b_{p+1}-b_p=\int_{0}^{\pi}\frac{(-1)^{n}sin^n(v)}{v+(2p+1)\pi}dv+\int_{0}^{\pi}\frac{(-1)^{n}sin^n(v+\pi)}{v+(2p+2)\pi}dv} c'est à dire que 3$\fbox{b_{p+1}-b_p=\int_{0}^{\pi}(\frac{(-1)^{n}}{v+(2p+1)\pi}+\frac{1}{v+(2p+2)\pi})sin^n(v)dv} et on voit que la décroissance de la suite (b_p) n'est acquise que si n est impair (énoncé à rectifier)
Dans la suite je supposerais donc que 3$\red\fbox{\fbox{n\hspace{5}est\hspace{5}impair}}
Les deux suites sont donc bien adjacentes et admettent par conséquent une limite réelle commune qui est aussi celle de la suite 3$(S_p)_{p\ge0}.
Pour 3$x\ge\pi notons 3$\fbox{p=E(\frac{x}{\pi})} (partie entière) on peut écrire que:
3$\fbox{\int_{0}^{x}\frac{sin^n(t)}{t}dt=\int_{0}^{p\pi}\frac{sin^n(t)}{t}dt+\int_{p\pi}^{x}\frac{sin^n(t)}{t}dt=S_p+\underb{\int_{p\pi}^{x}\frac{sin^n(t)}{t}dt}_{3$R_n(x)}} en remarquant que 3$\fbox{|R_n(x)|\le\int_{p\pi}^{(p+1)\pi}\frac{1}{t}dt=ln(\frac{p+1}{p})} on voit que 3$\fbox{\lim_{x\to+\infty}\int_{0}^{x}\frac{sin^n(t)}{t}dt=\lim_{p\to+\infty}S_p} c'est à dire que 4$\blue\fbox{I_n=\int_{0}^{+\infty}\frac{sin^n(t)}{t}dt=\lim_{p\to+\infty}a_p=\lim_{p\to+\infty}b_p}
(*)3$Signe\hspace{5}de\hspace{5}I_n:
-Si 3$n est pair 3$I_n est clairement strictement positif.
-Si 3$n est impair on a en utilisant ce qui précéde que 4$\fbox{\forall p\ge0\\a_p\le I_n\le b_p} et donc en particulier que 4$\blue\fbox{I_n\ge a_1>a_0=0}
Sauf erreurs bien entendu

Posté par Liloue (invité)re : Intégrales impropres ! 13-11-05 à 13:41

Ah merci pour la positivité !
je me permet de vous soumettre la suite..

Montrer que \lim_{n\to +\infty}\int_a^{1}\frac{sint^n}{t^n}=0

Posté par
ottore : Intégrales impropres ! 13-11-05 à 14:24

|sin(t)|<u<1 sur [a,1]
et |sin(t)|^n<u^n ...

Posté par Liloue (invité)re : Intégrales impropres ! 13-11-05 à 17:18

je comprends pas ce que tu as écrit, c'est quoi les U ??

Posté par Liloue (invité)re : Intégrales impropres ! 13-11-05 à 17:26

je pense qu'il faut se servir du fait que (sinx/x) est décroissante sur [0,1]
et 0<(sinx/x)<1

Posté par
ottore : Intégrales impropres ! 13-11-05 à 17:31

u je l'ai défini comme un réel strictement plus petit que 1.
Ce u existe puisque |sin(x)|<1 sur [a,1], tu es d'accord?
De là, le résultat final en découle.

Posté par Liloue (invité)re : Intégrales impropres ! 14-11-05 à 17:16

je suis désolée mais ce n'est pas du tout évident pour moi..
pourrais tu détailler un peu...

Posté par
ottore : Intégrales impropres ! 15-11-05 à 01:51

Sur [a,1] avec a>0 on a clairement que |sin(x)|<1 donc qu'il existe u<1 tel que
|sin(x)|<u<1 (la raison est assez simple, c'est le théorème qui dit que tout segment est envoyé sur un segment par une application continue. Notamment on a qu'a dire que u=sup(sin(x)))
A partir de là on a que |sin(x)|^n/x <u^n/x
en intégrant on a que
\int |f(x)|dx < u^n \int dx/x

Notamment ce qui est à droite tend vers 0.
On applique le théorème des gendarmes, et donc l'intégrale de |f(x)|dx aussi.
Et en remarquant que
|\int f(x)dx| < \int |f(x)|dx
on a le résultat souhaité
sauf erreur(s)
A+


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