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Intégrales impropres

Posté par
Maesan 03-12-22 à 06:41

Bonjour à tous et merci de me lire
En fait j'ai un soucis avec une intégrale
Il s'agit de celle ci
(1/x)sin(x + 1/x)

L'intégrale est de 0 à plus l'infini et le but est d'étudier sa nature
Mon soucis est que j'ai tout essayé
Je crois bien mais ça ne sort pas.
Pour étudier en +l'infini,J'ai essayé de développer le sinus en question avec la formule du sinus de l'addition de deux réels puis faire des développements limités quand j'avais par exemple sin(1/x) et cos(1/x)  mais j'ai pas pu progresser
Si je majore la fonction pour utiliser le critère de comparaison je n'ai pu la majorer qu'avec 1/x or je ne peux conclure car l'intégrale de cette fonction diverge

S'il vous plaît si vous pouviez m'aider avec des indices
Parceque je n'arrive pas à déterminer cette nature

Posté par
verdurinre : Intégrales impropres 03-12-22 à 08:32

Bonjour,
en + ta méthode fonctionne.

On a d'une part
\dfrac1{\sqrt{x}}\cos x \sin(1/x)\sim \dfrac{\cos x}{x\sqrt{x}} et l'intégrale converge absolument.
D'autre part
\dfrac1{\sqrt{x}}\sin x \cos(1/x)\sim \dfrac{\sin x}{\sqrt{x}} que l'on peut comparer à une série alternée.

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 03-12-22 à 09:03

Que l'on peut comparer à une série alternée ?
S'il vous plaît je ne comprends pas très bien à ce niveau
Y'aurait il pas une méthode pour étudier cela rien qu'avec des critères concernant les intégrales ?

Et aussi en 0+ je n'ai vraiment pas d'idée. Des indices pour l'étude  en 0+ m'aideraient énormément 🙏🏽Merci

Posté par
verdurinre : Intégrales impropres 03-12-22 à 09:21

Pour la série alternée

\begin{aligned}\int_{2\pi}^{(2+n)\pi}\frac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x=\int_{2\pi}^{3\pi}\frac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x+\int_{3\pi}^{4\pi}\frac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x+\dots+\int_{(n+1)\pi}^{(n+2)\pi}\frac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x \\ \end{aligned}

Ce qui conduit à étudier la série de terme général \begin{aligned}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x\end{aligned}

En 0^+ on a \left\lvert\dfrac{\sin (x+1/x)}{\sqrt x}\right\rvert\leqslant \dfrac{1}{\sqrt x}

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 03-12-22 à 10:57

D'accord j'essayerai avec les séries alternées
Mais justement je me demandais si je pouvais pas faire plus simple?
Sans utiliser de série en fait

Et concernant la majoration pour le cas de l'étude en 0+,Comment je pourrais exploiter cette majoration sachant que la fonction utilisée pour majorer est d'intégrale divergente svp

Posté par
verdurinre : Intégrales impropres 03-12-22 à 11:24

\begin{aligned}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt x}\text{d}x=2\end{aligned}

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 03-12-22 à 11:32

Je m'excuse en fait j'avais les critères de Riemann en + l'infini en tête depuis
D'accord d'accord je vois merci

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 03-12-22 à 11:48

Maesan @ 03-12-2022 à 10:57


Mais justement je me demandais si je pouvais pas faire plus simple?
Sans utiliser de série en fait

🤔

🙏🏽

Posté par
verdurinre : Intégrales impropres 03-12-22 à 12:24

Pour l'étude en + je ne vois pas de méthode simple.
J'ai l'impression que l'intégrale n'est pas absolument convergente, ce qui signifie qu'il faut faire une étude particulière.
Désolé mais mes compétences sont insuffisantes ici.

Posté par
carpediemre : Intégrales impropres 03-12-22 à 12:36

salut

je note f(x) l'intégrande

tout d'abord en 0 il n'y a pas besoin de développer le sinus car - \dfrac 1 {\sqrt x} \le f(x) \le \dfrac 1 {\sqrt x}

et les extrêmes sont intégrales sur [0, 1]



mais pour +oo je ne vois rien d'autre que ce qu'a proposé verdurin vu que f(x) oscille entre positif et négatif et que la fonction x \mapsto \dfrac1 {\sqrt x} n'est pas intégrable

et que c'est cette oscillation qui va permettre (éventuellement) d'y arriver

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 03-12-22 à 12:37

D'accord merci beaucoup 🙏🏽
En souhaitant que quelqu'un me propose quelque chose de plus simple svp merci🙏🏽

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 03-12-22 à 17:08

]

carpediem @ 03-12-2022 à 12:36

salut

je note f(x) l'intégrande

tout d'abord en 0 il n'y a pas besoin de développer le sinus car - \dfrac 1 {\sqrt x} \le f(x) \le \dfrac 1 {\sqrt x}

et les extrêmes sont intégrales sur [0, 1]



mais pour +oo je ne vois rien d'autre que ce qu'a proposé verdurin vu que f(x) oscille entre positif et négatif et que la fonction x \mapsto \dfrac1 {\sqrt x} n'est pas intégrable

et que c'est cette oscillation qui va permettre (éventuellement) d'y arriver

D'accord merci je vois

Posté par
carpediemre : Intégrales impropres 03-12-22 à 17:41

inutile de citer mon msg ...

de rien

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 06-12-22 à 12:07

Bonjour svp je reviens Parceque j'ai encore un soucis sur cette meme intégrale

verdurin @ 03-12-2022 à 09:21



Ce qui conduit à étudier la série de terme général \begin{aligned}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x\end{aligned}


Je comprends que cette intégrale soit le terme général d'une série alternée . De même dernièrement  je suis même tombée sur plusieurs exercices de ce type(genre une intégrale de n à tel autre borne)

Mais il y'a une chose que je ne comprends pas svp en quoi l'étude de la série de terme général cette intégrale nous permettra de conclure sur cette intégrale …
J'ai une idée :
Si je parviens à démontrer que cette série converge alors l'intégrale (le terme général )converge vers 0
Et dans ce cas l'intégrale de départ de cette exercice converge d'après tous les critères en 0 et +l'infini que nous avons utilisé

Est ce bien ça ?Juste que j'avais essayé de déterminer la nature de cette intégrale sur un calculateur d'intégrale. Ce dernier m'a affiché qu'elle devrait diverger.Bon a part si j'ai pas bien saisi cela sur le site calculateur .

Mais ce que j'aimerais savoir à travers ce message c'est est ce que quand on étudie la série:
-Si elle converge on vient de montrer que l'intégrale (de sinx/x)converge vers 0
-Si elle diverge…(Là je ne sais quoi conclure)

Donc se lancer dans l'étude de la série c'est dans le cas où on souhaite déjà montrer la convergence de l'intégrale ?
Merci beaucoup de m'aider et désolée de réouvrir le sujet sachant que j'avais dit avoir compris🙏🏽

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 06-12-22 à 21:02

S'il vous plaît 🙏🏽

Posté par
carpediemre : Intégrales impropres 06-12-22 à 21:26

si on pose u_n = \begin{aligned}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x\end{aligned} alors l'intégrale \begin{aligned}\int_0^{+ \infty}\dfrac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x\end{aligned} $ et la série $ \sum_0^{+\infty} u_n  sont de même nature ...

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrales impropres 06-12-22 à 22:26

Bonsoir,

pour montrer que \int_0^{+\infty}f(x)dx existe quand f(x)=\dfrac1{\sqrt x}\sin(x+\dfrac1x) on peut faire ainsi :

|f(x)|\leq\dfrac1{\sqrt x} qui est intégrable sur ]0,1] donc \int_0^1f(x)dx existe

f(x)=\dfrac{\sin x}{\sqrt x}+\dfrac{\sin x}{\sqrt x}(\cos(\dfrac1x)-1)+\dfrac{\cos x}{\sqrt x}\sin(\dfrac1x)

Avec |1-\cos t|\leq t^2/2 on majore le second terme en valeur absolue par \dfrac1{2x^{5/2}} intégrable sur [1,+\infty[

Le troisième terme est majoré en valeur absolue par \dfrac1{x^{3/2}} qui est intégrable sur [1,+\infty[

Le premier terme n'est pas intégrable sur [1,+\infty[, il faut faire une IPP et écrire :

\int_1^X\dfrac{\sin x}{\sqrt x}dx=\left[\dfrac{-\cos x}{\sqrt x}\right]_1^X-\int_1^X\dfrac{\cos x}{2x^{3/2}}dx puis faire tendre X vers +\infty

Posté par
verdurinre : Intégrales impropres 06-12-22 à 22:31

Bonsoir,
il vaut mieux séparer le problème en 0 et celui en +.
On regarde donc, pour le problème en + la limite : \begin{aligned}\lim_{t\to+\infty}\int_{2\pi}^{t}\frac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x\end{aligned}

On veut la comparer à la série de terme général \begin{aligned}u_k=\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x\end{aligned}.

On remarque d'abord que la différence entre la somme partielle de la série ( bien conditionnée ) et l'intégrale tend vers zéro. Ça je te le laisse faire. L'intégrale et la série sont bien de même nature.

Ensuite on remarque que la série est alternée : si k est pair u_k est positif, si k est impair u_k est négatif. C'est pratiquement évident en regardant le signe du sinus sur l'intervalle ]k\pi\,;\,(k+1)\pi[.

Enfin, pour appliquer le critère spécial des séries alternées, on vérifie que la suite (|u_k|)_{k>1} des valeurs absolues est décroissante.

On en déduit que la série, et donc l'intégrale, est convergente.

Posté par
verdurinre : Intégrales impropres 06-12-22 à 22:36

Ceci étant dit la méthode proposée par jandri est plus simple.

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 07-12-22 à 03:07

carpediem @ 06-12-2022 à 21:26

si on pose u_n = \begin{aligned}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x\end{aligned} alors l'intégrale \begin{aligned}\int_0^{+ \infty}\dfrac{\sin x}{\sqrt x}\text{d}x\end{aligned} $ et la série $ \sum_0^{+\infty} u_n  sont de même nature ...
s'il vous plaît ce c'est pas plutôt l'intégrale est de même nature que la série de terme général sin(n)/x?
Je n'arrive vraiment pas à comprendre

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 07-12-22 à 03:07

Merci à tous

Posté par
luzakre : Intégrales impropres 07-12-22 à 09:56

Bonjour !
Si tu veux utiliser la série :
. Fais, dans u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{\sin x}{\sqrt x}\rm{d}x le changement de variables x=n\pi+t
Tu verras facilement une série alternée convergente de somme S.
.Ensuite, pour n\pi\leqslant x\leqslant(n+1)\pi tu as \int_{0}^{x}\dfrac{\sin x}{\sqrt x}\rm{d}x-S=\int_{0}^{n\pi}\dfrac{\sin x}{\sqrt x}\rm{d}x-S+\int_{n\pi}^{x}\dfrac{\sin x}{\sqrt x}\rm{d}x et tu peux facilement majorer la dernière intégrale.
Cela te permet de voir qu'on a bien l'implication : série convergente implique intégrale convergente...

Posté par
Maesanre : Intégrales impropres 07-12-22 à 10:44

D'accord merci je vois


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