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Intégrales impropres

Posté par
tanb56 07-03-24 à 14:55

Bonjour !
Je bloque sur quelques questions du sujet suivant :
Soit F une fonction définie sur \mathbb{R} par :
F(x,y) = \int_{-\infty}^{+\infty}(t-x)^{2}(t-y)^{2}e^{-t^{2}}dt
1. Montrer que pour tout (x,y) appartenant à \mathbb{R} :
F(x,y)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+4xy)+x^{2}y^{2}
(J'ai réussi cette question à l'aide d'une formule dans une partie précédente, le sujet est long je ne l'ai pas réécrit en entier)
2. Calculer les dérivées partielles premières de F et en déduire les trois points critiques de F.
C'est là où je bloque, je m'explique :
En dérivant partiellement par rapport à x et y on trouve deux équations, on trouve :
\frac{\partial F}{\partial x}=x+2y+2xy^{2}
Et :
\frac{\partial F}{\partial y}=y+2x+2yx^{2}
Donc on en déduit les points critiques avec :
\nabla F = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \\ & \text x+2y+2xy^{2}=  0 \\ \\ & \text y+2x+2yx^{2}=  0 \\ \end{cases} \\
Sauf qu'à partir d'ici je ne vois pas comment résoudre ce système...
3.  Calculer pour tout x \in \mathbb{R}, F(x , x)-F(0,0) et F(x ,-x)-F(0,0) .
(J'ai réussi cette question sans difficulté)
4. Le point (0,0) est-il un extremum local ?
J'imagine que pour cette question, il faut regarder si F(x,y) \leq F(0,0) ou si F(x,y) \geq F(0,0)
5. Pour tout x élément de \mathbb{R}, montrer que les intégrales \int_{0}^{+\infty}sin(xt)e^{-t^{2}}dt et \int_{0}^{+\infty}tcos(xt)e^{-t^{2}}dt convergent.
J'ai réussi cette question sans difficulté.
Pour la suite, on note S(x) = \int_{0}^{+\infty}sin(xt)e^{-t^{2}}dt et C(x) = \int_{0}^{+\infty}tcos(xt)e^{-t^{2}}dt.
6. Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral sans oublier les hypothèses
Voici ce que j'ai rédigé :
Soit f : [a, b] \to \mathbb{R} de classe C^{n+1}. Alors
\[ \\ f(b) = f(a) + (b-a)\frac{f'(a)}{1!} + \dots + \frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a) + \int_{a}^{b} \frac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t) \, dt. \\ \]
7. En appliquant la formule précédente à la fonction sin, montrer que pour tout (\lambda,a) éléments de \mathbb{R}^{2}, |sin(\lambda+a)-sin(a)-\lambda cos(a)|\leq \frac{\lambda^{2}}{2}
Cette question est assez particulière, je ne vois pas sur quel intervalle intégrer, peut être [a,a+\lambda] mais je ne suis pas sur.
Cela donnerait :
Soit f : [a, a + \lambda] \to \mathbb{R} définie par f(t) = \sin(t). La fonction f est C^\infty sur \mathbb{R}, donc elle satisfait les hypothèses de la formule de Taylor avec reste intégral sur tout intervalle [a, a + \lambda] , où a et \lambda sont des réels donnés.

La formule de Taylor avec reste intégral pour f(t) = \sin(t) sur l'intervalle [a, a + \lambda] est la suivante :
\sin(a + \lambda) = \sin(a) + \lambda \cos(a) - \int_{a}^{a+\lambda} \frac{\lambda(t-a)}{2!} \cos(t) \, dt

En prenant la valeur absolue des deux côtés, on obtient :
\\ |\sin(a + \lambda) - \sin(a) - \lambda \cos(a)| = \left| - \int_{a}^{a+\lambda} \frac{\lambda(t-a)}{2!} \cos(t) \ dt \right|. \\

En utilisant l'inégalité |\cos(t)| \leq 1 pour tout t \in \mathbb{R}, on peut majorer l'expression comme suit :
\left| - \int_{a}^{a+\lambda} \frac{\lambda(t-a)}{2!} \cos(t) \, dt \right| \leq \int_{a}^{a+\lambda} \frac{\lambda(t-a)}{2!} \ dt
Simplifions l'intégrale :
\int_{a}^{a+\lambda} \frac{\lambda(t-a)}{2!} \, dt = \frac{\lambda^2}{2}
Voilà, je ne sais pas si ma rédaction était assez précise, n'hésitez pas à me corriger !
8. Montrer que pour tout x \in \mathbb{R}, \lim_{h\rightarrow 0}\left[\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}-C(x)\right]=0
J'ai un peu de mal pour cette question je l'avoue, cela ressemble à un taux d'accroissement..
9. En déduire que la fonction S est dérivable sur \mathbb{R} et donner sa dérivée.
En trichant un peu j'ai admis la question précédente, et j'ai trouvé la dérivée assez facilement par linéarité de la dérivation.
10. Démontrer que pour tout x élément de \mathbb{R}, C(x) = \frac{1}{2}-\frac{x}{2}S(x)
J'ai bien réussi cette question, il s'agit d'une IPP simple.
11. Donner une équation différentielle dont S est solution sur \mathbb{R}.
J'avoue que pour cette question je ne sais pas trop par quoi commencer
12. Montrer que pour tout x \in \mathbb{R}, S(x) = \frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}} \int_{0}^{x} e^{\frac{t^2}{4}} \, dt
Merci à ceux qui prendront le temps de m'aider

Posté par
jarod128re : Intégrales impropres 07-03-24 à 16:33

Bonjour. Jai juste le temps de te débloquer la 2). Pour résoudre ton système ajoute tes deux lignes, factorise par (x+y)  étudie les deux cas (x+y) nul ou pas. Le premier cas te donne 3 solutions et le deuxième une solution mais déjà trouvée.

Posté par
tanb56re : Intégrales impropres 08-03-24 à 17:42

Bonjour !
Merci pour votre réponse !
J'ai donc additionné les deux lignes et factorisé par (x+y), cela me donne :
(x+y)(3+2yx)=0
Donc, une première solution est x=-y.
Donc en remplaçant dans l'équation (1), je trouve les solutions suivantes :
x_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, x_{2}=0,x_{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Une deuxième est y=-\frac{3}{2x}, et en substituant dans les deux équations du système, on trouve que x \notin \mathbb{R}
Merci de vos conseils !

Posté par
tanb56re : Intégrales impropres 08-03-24 à 19:56

Je bloque maintenant assez fortement sur la question 22..
Je n'arrive pas à commencer un raisonnement, et je ne vois pas comment la question 21 peut m'aider pour y répondre..

Posté par
phyelec78re : Intégrales impropres 09-03-24 à 15:06

Bonjour,

c'est quoi la question 22?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intégrales impropres 09-03-24 à 15:25

Bonjour tanb56

Les questions \boxed{8} , \boxed{9} et \boxed{10} te font aboutir à \Large\boxed{\forall x\in\mathbb R~,~S'(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}S(x)}.


\boxed{11.} La fonction S est donc solution sur \mathbb R de l'équation différentielle \Large\boxed{y'+\frac{x}{2}y=\frac{1}{2}~,~y(0)=0}


qui s'intègre assez facilement en remarquant qu'elle s'écrit aussi \Large\boxed{\left(y'+\frac{x}{2}y\right)e^{\frac{x^2}{4}}=\frac{1}{2}e^{\frac{x^2}{4}}} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
tanb56re : Intégrales impropres 09-03-24 à 18:22

phyelec78 @ 09-03-2024 à 15:06

Bonjour,

c'est quoi la question 22?


Excusez moi, je voulais dire la question 8, j'ai adopté une autre notation par rapport à celle que j'ai sur le sujet original ..

Posté par
tanb56re : Intégrales impropres 09-03-24 à 18:24

elhor_abdelali @ 09-03-2024 à 15:25

Bonjour tanb56

Les questions \boxed{8} , \boxed{9} et \boxed{10} te font aboutir à \Large\boxed{\forall x\in\mathbb R~,~S'(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}S(x)}.


\boxed{11.} La fonction S est donc solution sur \mathbb R de l'équation différentielle \Large\boxed{y'+\frac{x}{2}y=\frac{1}{2}~,~y(0)=0}


qui s'intègre assez facilement en remarquant qu'elle s'écrit aussi \Large\boxed{\left(y'+\frac{x}{2}y\right)e^{\frac{x^2}{4}}=\frac{1}{2}e^{\frac{x^2}{4}}} ... sauf erreur de ma part bien entendu




Merci de votre réponse ! Pour justifier cela, ai-je besoin de préciser qu'à la question 8 l'on remarque que C(x) est la dérivée de S(x), et que c'est cela que vous appelez y' ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intégrales impropres 09-03-24 à 23:29

Oui exactement, à la question \boxed{8} on montre que :

\Large\boxed{\forall x\in\mathbb R~,~\lim_{h\rightarrow 0}\left[\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}-C(x)\right]=0}

ce qui prouve que S est dérivable (sur \mathbb R) de dérivée C.

Posté par
tanb56re : Intégrales impropres 10-03-24 à 14:25

D'accord, merci beaucoup pour vos explications

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intégrales impropres 10-03-24 à 21:34

C'est un plaisir tanb56


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