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Intégrales Improres

Posté par
Stan88 02-07-13 à 11:12

Bonjour

Apres avoir vu les primitives, et les intégrale, j'arrive aux intégrales impropres j'ai réussi à trouver un mini cours et un exercice mais je bloque complètement.

Pouvez-vous me donner un exemple avec l'intégrale impropre A, pas les autres ^^ , je voudrais les faire seules sinon cela ne me servirais à rien ^^

Ce qui me bloque c'est comment choisir le "M" ?

Merci

Intégrales Improres

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 02-07-13 à 11:24

Bonjour Stan88,

L'exercice 10 est fait de telle sorte que dans chaque cas, une primitive est facile à trouver. La question est alors de savoir si la primitive que tu as choisie (je rappelle qu'il y en a une infinité définies à une constante près) admet une limite finie aux bords de l'intervalle d'intégration.

Pour savoir si tu fais M\to+\infty ou \epsilon\to a^+, tu regardes si l'intervalle d'intégration contient une borne infinie (cas A, B et E de l'exo) ou une borne où la fonction que tu intègres n'est pas définie (cas C et D de l'exo). Pire, les deux... mais tu n'as pas ce cas.

Posté par
greenre : Intégrales Improres 02-07-13 à 15:29

Je comprend mal ta question. Qu'entends tu par "choisir mon M" ?
Pour A, que vaut \int_0^M e^{-2x}dx ? et que ce passe t-il si tu laisses M tendre vers +\infty ? Donc ?

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 02-07-13 à 16:17

En faite c'est toute la démarche que je ne comprend pas, comment résoudre l'intégrale A si elle tends vers + l'infinie ??

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 02-07-13 à 16:26

Ca ne veut rien dire ...

On ne résout pas une intégrale, on étudie sa nature (convergente / divergente) ou on la calcule.

Ce n'est pas A qui tend vers l'infini mais la borne supérieure de l'intervalle d'intégration.

Je me répète : trouve une primitive de x\longmapsto\exp(-2x) et calcule A.

Posté par
greenre : Intégrales Improres 02-07-13 à 16:48

Posons F(x)=\int_a^xf(x)dx. Ce qu'on veut c'est calculer \lim_{x\to\infty}F(x).

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 02-07-13 à 21:08

Donc, si je suis votre résonnement :

F(X)= \int_a^{x}f(x) dx

F(X) = 1/2*(-2e-2x)

Alors :

\lim_{x\to +\infty} 1/2*(-2e-2x) = 0

Posté par
greenre : Intégrales Improres 02-07-13 à 21:11

non ! Premièrement, la primitive est fausse, deuxièmement le calcul de tn intégrale est faux !!
Que vaut \int_a^b f(x)dx en supposant que F est une primitive de f

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 02-07-13 à 21:37


\int_0^{+\infty} e-2x

Posté par
greenre : Intégrales Improres 02-07-13 à 21:38

tu le fais exprès ?

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:03

\int_0^{+\infty} e-2x dx = [1/2 * -2e-2x]

[1/2 * -2e-2x] - [ 1/2 * -2e-2*0]

e-2x + 1

\lim_{x\to +\infty} e-2x +1 = 1

Est-ce correct ?

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:04

erreur pour l'avant derniers message désolé

Posté par
greenre : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:04

la méthode est correcte, mais ta primitive est fausse. Dérive pour t'en rendre compte !!

Posté par
ThierryPomare : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:16

Bonsoir,

La méthode est loin d'être correcte. Soit x\geqslant 0 réel quelconque. L'on a clairement :

F(x)=\int_0^xe^{-2\,s}\,ds=\cdots

de sorte que

\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=\cdots

Par conséquent, l'on a bien

\int_0^{+\infty}e^{-2\,x}\,dx=\cdots

Avec tout mon respect,

Thierry

Posté par
greenre : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:19

Bonjour Thierry
qu'est-ce qui te chiffonne là dedans ?

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:19

En effet je viens de voir mon erreur

\int_0^{+\infty} e-2x dx = -1/2 \int_0^{+\infty} e-2x dx

-1/2 [ e-2x ] - [ e-2*0]

-1/2(e-2x - 1)

\lim_{x\to +\infty} -1/2(e-2x - 1) = 1/2

Posté par
greenre : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:20

Citation :
\int_0^{+\infty} e-2x dx = -1/2 \int_0^{+\infty} e-2x dx

On aura tout vu

Posté par
ThierryPomare : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:22

Bonsoir Green,

Le fait de voir écrit :

\int_0^{+\infty} e-2x dx = [1/2 * -2e-2x]

Précision : Ne pas oublier de spécifier que la fonction x\mapsto e^{-2\,x} est continue sur \R_+, de sorte qu'elle y est localement intégrable.

T. P.

Posté par
greenre : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:25

Il faut savoir être un peu indulgent (non maitrise du forum, de latex...)
j'espère que tu te portes bien,

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:35

Mise à part la syntaxe, la méthode et le résultat sont-ils justes ?

Posté par
greenre : Intégrales Improres 02-07-13 à 22:42

le résultat oui, la méthode, je ne la comprend pas !! et la syntaxe ? ça ne veut absolument rien dire !!
En gros, ce que tu as fait se résume à:
Je cherche à calculer 1+1, j'ai donc 1+1=7+9=3

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 02-07-13 à 23:48

Stan, lis un ou deux cours pour ne pas dire de grosses bêtises

Posté par
delta-Bre : Intégrales Improres 03-07-13 à 01:23

Bonsoir à tous.

@Stan

Déjà le mini-cours que tu utilises est vraiment un mini-cours. Il est destiné à quelle formation?
L'image que tu as jointe au post est tronquée. La définition qu'elle donne de la nature d'une intégrale impropre est incomplète.
L'exercice tel qu'il est donné ne fait appel qu'à des primitives, des intégrales définies  et des limites simples que tu ne semble pas maitriser. De plus, tu n'as guère compris la défintion.

Etudier l'intégrale \int_a^{+\infty} f(x)dx en utilisant la définition revient à:
1) vérifier que f est localement intégrable (chose qui n'apparaît pas dans la définition du mini-cours) i.e. pour tout c et d, a c < d, l'intégrale définie \int_c^d f(x)dx existe. Ceci est automatiquement vérifié si f est continue sur [a,+[.
2) Calculer l'intégrale  définie   F(M)=\int_a^M f(x)dx
3) Etudier \lim_{M \to +\infty} F(M)=\lim_{M \to +\infty}\int_a^M f(x)dx et conclure.

Aappliquons ça à A=\int_0^{+\infty} e^{-2x}dx.
1) est vérifié (intégrabilité locale) puisque la fonction f(x)=e^{-2x} est continue sur [0,+[  (et même sur ).

2) Une des primitives de f(x)=e^{-2x} est g(x)=-\frac{1}{2}=e^{-2x} et
   F(M)=\int_0^M e^{-2x}dx=g(M)-g(0)=-\frac{1}{2}e^{-2M}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(1-e^{-2M}\right).

3) \lim_{M \to +\infty} F(M)=\lim_{M \to +\infty}\frac{1}{2}\left(1-e^{-2M}\right)=\frac{1}{2}.
   L'intégrale   A=\int_0^{+\infty} e^{-2x}dx est donc convergente et A=\int_0^{+\infty} e^{-2x}dx =\frac{1}{2}

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 03-07-13 à 09:27

Petite faute de frappe dans la première ligne du 2) delta-B :

Citation :
Une des primitives de f(x)=e^{-2x} est g(x)=-\frac{1}{2}{\red\times}e^{-2x}

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 03-07-13 à 18:09

Merci à vous je commence à comprendre je vais faire les autres intégrales, et posterais les résultats.

Ce cour est destinée à la formation DUT GIM, moi j'ai actuellement fini mon DUT QLIO, durant ce cursus je n'ai pas revu les intégrales, cela fait donc 3 ans que je n'avais pas revus d'intégrale et de primitive.

Donc pendant mes vacances, j'en profite pour revoir tout cela, car l'année prochaine j'entre en école d'ingénieur. Je sais que beaucoup d'entre vous, qui verrons ce poste riront, et ce diront que je ne pourrais surement pas réussir en école d'ingénieur étant donné que je rencontre déjà quelques difficultés à ce niveau. Mais je tiens à préciser que c'est la toute première fois que je m'attaque aux intégrales impropres.

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 03-07-13 à 20:00

On n'est pas là pour se moquer ni quoi que ce soit, mais je te conseille de lire plusieurs fois le cours ou un autre cours avant de te précipiter poster des exos sur le forum

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 04-07-13 à 14:36

Voici mon Résultat pour la E

1) La fonction e(x) = 1/x² est continue sur [0, +[

2) une des primitives de e(x))= 1/x² est g(x) = -1/x et

E(M) = \int_2^{+\infty} 1/x² dx = g(M) - g(2) = -1/M - (-1/2) = -1/M +1/2

3)\lim_{M\to +\infty} E(M) = \lim_{M\to +\infty} -1/M +1/2 = 1/2

L'intégrale E = \int_2^{+\infty} 1/x² dx est donc convergente et E = \int_2^{+\infty} 1/x² dx = 1/2

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 14:42

Bonjour Stan,

1) Sur [2,+\infty[ oui, mais pas [0,+\infty[ (y a un hic en 0).

2) Tu écris E(M)=\int_{2}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2}, ca ne va pas. Où est M ici ? C'est plutôt E(M)=\int_{2}^M\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2} et ensuite tu fais tendre M vers +\infty

C'est bien, et bel effort de \LaTeX !

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 14:56

As-tu regardé si les autres intégrales B, C et D étaient convergentes, et si oui que valent-elles ?

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 04-07-13 à 15:40

Bah pour la B je rencontre un problème
car a la fin je dois trouver la limite :


\lim_{M\to +\infty} -cosm +1

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 15:42

Justement, la primitive que tu as choisie a-t-elle une limite finie en l'infini ? Si non, alors l'intégrale diverge !

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 15:44

Sais-tu montrer que la fonction x \longmapsto \cos x n'admet pas de limite en x\to+\infty ?

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 04-07-13 à 16:15

je sais le prouver grâce à un graphique, c'est tout

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 16:29

Ca se voit très bien oui, mais il faut le montrer !

On peut par exemple nier la caractérisation de la limite :

Si la fonction x \longmapsto \cos x admettait une limite L en +\infty, alors pour toute suite de réels (x_n)_{n\in\mathbb{N}} telle que \lim_{n\to+\infty} x_n=+\infty, on aurait :

\lim_{n\to+\infty} \cos(x_n)=L

Vois-tu en quoi les suites \left(n\pi\right)_{n\in\mathbb{N}} et \left(n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)_{n\in\mathbb{N}} nous permettent de conclure quant à la non-convergence de x \longmapsto \cos x ?

C'est peut-être un peu technique, c'est la première idée qui m'est venue il y a peut-être plus simple (même si ce n'est pas très difficile).

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 04-07-13 à 16:45

oui je vois très bien, c'est à cause du rapport périodique

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 16:49

Oui en gros c'est ca, les seules fonctions périodiques qui ont une limite en l'infini sont les fonctions ... constantes.

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 04-07-13 à 17:17

Pour la C c'est le même principe je suppose


Une des primitives de c(x) = 1/x est g(x) = lnx et

C(M) = \int_M^{3} 1/x dx = g(3) - g(M) = ln3 - lnM

\lim_{M\to 0} C(M) = \lim_{M\to 0} ln3 - lnM = ln3

Donc l'intégrale C(x) = \int_0^{3} 1/x  dx est convergente et C(x) = \int_0^{3} 1/x  dx = ln3

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 17:23

Est-ce que tu maintiens \lim_{M\to0^+}\ln(M)=0 ?

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 04-07-13 à 17:32

Non en effet ^^

\lim_{M\to 0+} lnM = -\infty

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 17:32

Et donc, l'intégrale converge ou pas ?

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 04-07-13 à 17:32

Du coup cette intégrales est divergente ?

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 17:37

Et oui ! Maintenant la D

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 04-07-13 à 18:01

une des pirmitives de d(x) = 1/\sqrt{x}  est  g(x) = 2 \sqrt{x} et
D(M) = \int_M^{1} 1/\sqrt{x}  dx = g(1) - g(M) = 2 - 2\sqrt{x}

\lim_{M\to 0+} D(M) = \lim_{M\to 0+} 2(1-\sqrt{x}) = 2  

L'intégrale D = \int_0^{1} 1/\sqrt{x}  dx  est donc convergent  et D = \int_0^{1} 1/\sqrt{x}  dx = 2

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 18:04

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 04-07-13 à 18:11

Merci à toi Gui_tou d'avoir été patient ^^
Merci aussi aux autres membres qui m'ont éclairé sur ce sujet

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 18:12

Je t'en prie, n'hésite pas à revenir si tu as d'autres questions.

Posté par
Stan88re : Intégrales Improres 04-07-13 à 19:48

j'aurai surement besoin de toi encore ^^ je vais attaquer les intégrales par changement de variable, mais avant je vais bien regarder le cours que j'ai

Posté par
delta-Bre : Intégrales Improres 04-07-13 à 20:45

Bonjour.

Citation :
Vois-tu en quoi les suites \left(n\pi\right)_{n\in\mathbb{N}} et \left(n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)_{n\in\mathbb{N}} nous permettent de conclure quant à la non-convergence de x \longmapsto \cos x ?


La suite \left(n\pi\right)_{n\in\mathbb{N}} suffit pour dire \lim_{x \to \infty}\cos(x) n'existe pas. En effet  \cos(n\pi)=(-1)^n

Posté par
gui_toure : Intégrales Improres 04-07-13 à 21:46

Pas faux !


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