Soit: et une fonction admettant une primitive sur
(*)Si les limites sont finies l'intégrale est convergente de valeur (par définition) et on a:
.
(*)Attention ce résulat tombe en défaut si n'admet pas de limite finie en ou :
(-).
(-) et .

Sauf erreur bien entendu

ok merci et une autre questioin la propriété des series disant que si le terme general ne tend pas vers 0 alors la serie diverge est étendable à l'univers des itégrales impropres?

Soit:

alors:

Et bien non...
Une fonction intégrable sur un intervalle du type [a; +\infty[ ne tend pas nécessairement vers 0.
On trouve facilement des contre-exemples comme somme de séries de fonctions positives, par exemple

où désigne l'indicatrice de A.

oups, c'est mal passé, je voulais dire bien sur

Bonsoir; effectivement gothmog je viens d'écrire une bétise je m'en excuse .
Ce n'est pas vrai mm avec f continue.
Par contre c'est vrai si f est monotone (croissante ou décroissante)

Pour montrer l'implication dans le cas où f est décroissante par exemple on utilise le critére dit de cauchy pour la convergence des intégrales dont l'énoncé est le suivant:

(la preuve de cet énoncé utilise la complétude de )
comme est décroissante on peut écrire que:
et en faisant on a le résultat.
la démonstration est similaire dans le cas où est croissante.

Sauf nouvelle erreur bien entendu

On peut se convaincre très facilement que l'on a pas la convergence vers 0:

Soit f définie par f(x)=1/x^2 pour tout point non entier et f(entier)=1
On a pas de convergence de f vers 0 et pourtant f est intégrable sur [1,+oo[
A+