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Intégrales suites

Posté par
Marinne 27-12-18 à 20:09

Bonsoir
On définit la suite (In)  par I0 =\int_0^1\sqrt{1-t^2}dt et In=\int_0^1t^n\sqrt{1-t^2}dt pour tout n€IN
1)on pose f(x)=\int_0^{cosx }\sqrt{1-t^2}dt pour tout x€IR
a)Montrer que f est derivable sur IR puis calculer f'(x)

b) Déterminer f(x) pour x€[0; \frac{\pi}{2}] puis en déduire la valeur de I0

c) Interpréter graphiquement l'integrale I0 et retrouver sa valeur

2)a) Montrer que la suite (In)est décroissante et minoré. Que peut-on en deduire ?

b) Montrons que pour tout n€IN ; 0<=In<=\frac{1}{n+1} puis en déduire lim(In) en +oo

3)a) calculer I1

b) À l'aide d'une intégration par parties , montrer que pour tout n€IN ; In+2=\frac{n+1}{n+4}I_n.

c) Montrer que pour tout n€IN ;
\frac{n+1}{n+4}<=\frac{I_{n+1}}{I_n}<=1 puis calculer lim(\frac{I_{n+1}}{I_n}) en +oo

4)a)Montrer par récurrence que pour tout n€IN ; In*In+1=\frac{\pi}{2(n+1)(n+2)(n+3)}

b) prouver que lim(n\sqrt{n}I_n)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}

5) Montrer que I_{2n}=\frac{(2n)! \pi}{2^{2n+2}n ! (n+1)! } et en déduire l'expression de I2n+1
Comment vais-je démontré que f est derivable sur IR

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 27-12-18 à 22:03

.

Posté par
luzakre : Intégrales suites 27-12-18 à 23:19

Bonsoir !

g(x)=\int_0^x\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t et considère x\mapsto g(\cos x)

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 28-12-18 à 11:48

Je dois pas calculé la primitive de \sqrt{1-t^2}
Pour pouvoir déterminer la fonction f(x) sans l'intégral

Posté par
jarod128re : Intégrales suites 28-12-18 à 13:04

Bonjour,
L'indication de Luzak concerne la dérivabilité de f...

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 28-12-18 à 13:08

si g est la primitive de\sqrt{1-t^2}
Alors f(x)=g(cosx)-g(0)
f'(x) =g'(cosx)-g'(0)=\sqrt{1-cos^2(x)} -1
Appartir de ça je peux conclure que f est derivable sur R ?

Posté par
luzakre : Intégrales suites 28-12-18 à 15:33

Citation :
L'indication de Luzak concerne la dérivabilité de f...

c'était la seule question posée !

@ Marinne
1. la primitive, ça n'existe pas !
2. Tu devrais savoir dériver une fonction composée : si c : x\mapsto \cos x,\;f=g\circ c.
Si tu ne sais pas, on peut t'aider mais ce serait mieux de revoir ton cours !

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 28-12-18 à 17:00

Soit g la primitive de \sqrt{1-x}
f(x)=\int_0^{cosx }\sqrt{1-t^2}dt si g est la primitive de f
f(x)=[g(x)]^{cosx}_0= g(0)-g(cosx)
f'(x) =g'(0)+g'(cosx) =\sqrt{1-cos^2x}
Qu'est ce qui n'est pas correct ?

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 28-12-18 à 17:14

Soit g la primitive de \sqrt{1-x}
f(x)=\int_0^{cosx }\sqrt{1-t^2}dt si g est la primitive de f
f(x)=[g(x)]^{cosx}_0= g(0)-g(cosx)
f'(x) =g'(0)+g'(cosx) =1+\sqrt{1-cos^2x}
Qu'est ce qui n'est pas correct ?

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 28-12-18 à 17:26

Marinne Soit g la primitive de [tex

\sqrt{1-x}[/tex]
f(x)=\int_0^{cosx }\sqrt{1-t^2}dt si g est la primitive de f
f(x)=[g(x)]^{cosx}_0= g(cosx)-g(0)
f'(x) =g'(cosx)-g'(0)=\sqrt{1-cos^2x}-1
Qu'est ce qui n'est pas correct ?

Posté par
luzakre : Intégrales suites 28-12-18 à 23:10

la primmitive, ce n'est pas correct !

De plus, exemple : suppose que la fonction g soit x\mapsto x^2.
Dirais-tu que la dérivée de x\mapsto g(\cos x) qui est aussi x\mapsto (\cos x)^2 est égale à g'(\cos x)=2\cos x ?

Posté par
luzakre : Intégrales suites 28-12-18 à 23:21

Sans compter que je n'avais pas vu la belle sottise pour dériver la constante g(0) : là il y a de l'abus !

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 29-12-18 à 08:36

luzak @ 28-12-2018 à 23:10

la
De plus, exemple : suppose que la fonction g soit x\mapsto x^2.
Dirais-tu que la dérivée de x\mapsto g(\cos x) qui est aussi x\mapsto (\cos x)^2 est égale à g'(\cos x)=2\cos x ?

g'(cosx) =-sinx2cosx

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 29-12-18 à 08:51

Soit g une primitive de \sqrt{1-x}
f(x)=[g(x)]^{cosx}_0= g(cosx)-g(0)
f'(x)=g'(cosx)-g'(0)=-sinx\sqrt{1-cos^2x}+1
Si g est une primitive de \sqrt{1-x} alors g'(x) =\sqrt{1-x}
g'(0)=\sqrt{1-0}=1

Posté par
luzakre : Intégrales suites 29-12-18 à 11:37

C'est ta formule f'(x)=g'(\cos x)-g'(0) qui est fausse.

g est une primitive de x\mapsto\sqrt{1-x^2} (il faut indiquer une fonction, pas une expression).
Alors, puisque f(x)=g(\cos x)-g(0), et g(0) une constante,
tu auras :  f'(x)=g'(\cos x)(-\sin x)=-\sin x\sqrt{1-\cos^2x}.

Tu dois aussi savoir calculer \sqrt{1-\cos^2x} (selon le signe de \sin x).

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 29-12-18 à 11:43

f'(x) =-sinx|sinx|

Posté par
luzakre : Intégrales suites 29-12-18 à 12:25

Bien !
Vois la suite et reviens nous voir si tu as des questions !

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 29-12-18 à 16:49

Pour démontrer que la fonction f est derivable sur IR je pourrai dire
f est derviable sur IR En tant que la composé de deux fonction derivable sur IR !

Posté par
luzakre : Intégrales suites 29-12-18 à 18:29

Oui tu aurais pu le dire !
Mais ça ne te donne pas la valeur de f' ni la réponse à la question suivante.

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 29-12-18 à 18:35

Ah je pense que la valeur de f' est très facile à trouver

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 29-12-18 à 19:10

1)b)f'(x) =-sin^2(x) =>f(0)=1/4sin2x-1/2x
I_0=f(x)=0

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 29-12-18 à 19:11

1)b)f'(x) =-sin^2(x) =>f(x)=1/4sin2x-1/2x
I_0=f(0)=0

Posté par
luzakre : Intégrales suites 30-12-18 à 08:43

erreur !
Tu as oublié f(0), qui n'a aucune raison d'être nulle, dans ton calcul de f(x).

En fait, c'est f(\pi/2) qui est nulle donc, f(x)=\dfrac{\sin(2x)}4-\dfrac x2+K,\;K constante et tu calcules cette constante en utilisant f(\pi/2) puis tu en déduis I_0=f(0).

Tu aurais vu ton erreur à la question suivante où on te demande d'interpréter I_0 comme une aire et il est facile de voir qu'elle est non nulle.

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 30-12-18 à 10:01

f(x)=\dfrac{1}{4}sin2x-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{2}
I_0=f(0)=\dfrac{\pi}{2}

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 30-12-18 à 10:33

C)  l'intégral  I0  est l'aire du quart du cercle de rayon 1 or l'air d'un quart de cercle égal π*r2/4
Donc I0=π/4
L'un de mes deux résultats est faux  je ne sais pas  laquelle

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 30-12-18 à 10:53

Je viens de voir c'est ici que j'ai fait une erreur
f(x)=\dfrac{1}{4}sin2x-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}
I_0=f(0)=\dfrac{\pi}{4}
Sinon pour répondre à la question C) c'est correct c'est que j'avais dit ?

Posté par
luzakre : Intégrales suites 30-12-18 à 11:06

Où vois-tu un quart de cercle ?
Moi je vois deux quarts (un demi cercle) de cercle de diamètre 1

Posté par
luzakre : Intégrales suites 30-12-18 à 11:59

Tu as raison : ily a bien un quart de cercle de rayon 1 et I_0=\dfrac{\pi}4

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 30-12-18 à 16:12

Pour la question 2a)
Pour montrer que la suite ( In) est décroissante
J'ai calculé In+1-In=[\int^1_0t^n\sqrt{1-t^2}](t-1)
J'ai décidé de commencer à démontré par récurrence
Pour n=0. [ \int^1_0\sqrt{1-t^2}](t-1)
Mais ce t me dérange

Posté par
Mounkaila144re : Intégrales suites 30-12-18 à 17:56

2)a)In+1-In=\int^1_0t^n\sqrt{1-t^2}(t-1)
Sur [0; 1] t^n>0 ;  \sqrt{1-t^2}>=0 ;  t-1<=0 donc In+1-In<=0 donc la (In) est décroissante

Posté par
Marinnere : Intégrales suites 30-12-18 à 19:04

Donc Pour démontré que la suite (In) est minoré je peux procédé de la même façon
J'ai sur [0; 1] t^n\sqrt{1-t^2}>=0(1) et t-1>=-1(2)
En faisant le produit (1)et(2) on à t^n\sqrt{1-t^2}(t-1)>=0
Donc la suite In est minoré par 0

Posté par
malou Webmasterre : Intégrales suites 30-12-18 à 20:13

Intégrales suites

Posté par
luzakre : Intégrales suites 30-12-18 à 23:18

@ Marinne !
Je ne comprends rien à ton produit, ni à son signe !
Dire t^n\sqrt{1-t^2}\geqslant0 ne te suffit pas ?


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