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Intégrales , suites et nombres complexes.

Posté par
matheux14 17-05-21 à 20:30

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Soit la fonction définie sur [0; 1] par f(x) = sin πx.

1. a) Tracer la courbe représentative (C) de f (unité graphique 8 cm).

Intégrales , suites et nombres complexes.

Réponses

1-a) Intégrales , suites et nombres complexes.

1-b) K=\int^{1}_0 f(x) dx

K=\int^{1}_0 \sin \pi x dx

K=\left[-\dfrac{\cos \pi x}{\pi}\right]^{1}_{0}

K=\left[-\dfrac{\cos \pi ×1}{\pi}\right]-\left[-\dfrac{\cos \pi ×0}{\pi}\right]

K=\dfrac{1}{\pi}+\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{2}{\pi}

1-c) La courbe représentative de la fonction f est continue et f est positive sur l'intervalle [0 ; 1] et on a : \int^{1}_{0} f(x)= \dfrac{2}{\pi}.

==> L'aire de la partie délimitée par (C) , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=0 et x=1 exprimée en unité d'aire est A=\dfrac{2}{\pi} u.a avec u.a =8 cm ×8 cm = 64 cm² soit A=\dfrac{128}{\pi} cm².

2-a) J'ai pas compris cette question.

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 20:41

Bonjour,

Pour une fois, tu peux peut-être commencer par la fin en essayant de faire une figure avec n=8.

Je vois 8 rectangles successifs de largeur \dfrac{1}{8} et de hauteur f(0),f(1),\cdots , f(7)

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 20:44

Mince:

   ... et de hauteur f(0),f\left(\dfrac{1}{8}\right), f\left(\dfrac{2}{8}\right),\cdots , f\left(\dfrac{7}{8}\right)

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 20:53

Vous représentez les termes de Sn ?

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 21:01

Non, je représente S_n en tant qu'aire d'une somme d'aires de rectangles (de largeur \dfrac{1}{n} ou plus exactement \dfrac{1}{8} lorsque n=8)
Il faut faire la figure sur la même qu'au 1)a) (avec la courbe représentative  de f)

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 21:07

Je ne comprends pas vraiment

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 21:25

Citation :
De base \left[\dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n}\right] et de hauteur f\left(\dfrac{k}{n}\right)


Pour fixer les idées,on choisit n=8

Avec k=0, le premier rectangle a pour base (sur l'axe des abscisses) \dfrac{1}{8} (de 0 à \dfrac{1}{8}) et pour hauteur f(0)=0. (On ne le voit pas.)

Avec k=1, le second rectangle a pour base (sur l'axe des abscisses) \dfrac{1}{8} (de \dfrac{1}{8} à \dfrac{2}{8}) et pour hauteur f\left(\dfrac{1}{8}\right) qu'on obtient avec \mathcal{C}_

Avec k=2, le 3 ième rectangle a pour base (sur l'axe des abscisses) \dfrac{1}{8} (de \dfrac{2}{8} à \dfrac{3}{8}) et pour hauteur f\left(\dfrac{2}{8}\right) qu'on obtient avec \mathcal{C}_

Avec k=3, le 4 ième rectangle a pour base (sur l'axe des abscisses) \dfrac{1}{8} (de \dfrac{3}{8} à \dfrac{4}{8}) et pour hauteur f\left(\dfrac{3}{8}\right) qu'on obtient avec \mathcal{C}_

   On va ainsi jusqu'à k=7 pour obtenir le 8 ième rectangle.

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 22:11

Voilà la figure que j'obtiens :

Intégrales , suites et nombres complexes.

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 22:14

Euh... Comme "rectangles" (spécifiés dans l'énoncé), on peut mieux faire

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 22:30

Ah désolé , voilà

Intégrales , suites et nombres complexes.

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 22:37

Ah ! Ça commence à ressembler à quelque chose.

Mais il y a encore un petit problème:

  Là où la fonction est croissante, tout va bien.
Mais là où elle est décroissante, il y a des soucis.

J'avais fait cette figure :

Intégrales , suites et nombres complexes.

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 23:10

Oui , j'ai fait des erreurs dans mes calculs.

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 23:14

On remarque que Sn se comporte comme la fonction f.

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 23:27

Je précise ce que tu entrevois :

On parle d'aires.

S_8 est très précisément l'aire colorée sur ma dernière figure(en unités d'aire).
On peut conjecturer que lorsque n devient "grand" (avec des rectangles de plus en plus étroits), S_n se rapproche de l'aire sous la courbe.

Autrement dit, on peut conjecturer que:

   \lim\limits_{n\to +\infty}S_n=\int_0^1f(x)\,\text{d}x=\dfrac{2}{\pi}

On le démontre dans la suite de ton exercice.
Sur ce, je suis encore une fois fatigué : bonne nuit !

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 23:29

Bonne nuit

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 17-05-21 à 23:31

J'ai oublié :

A demain peut-être

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 14:34

Bonjour, ma remarque de 23h :14 suffit-elle pour répondre à la question ?

Pour 2-b) j'ai essayé par récurrence mais je ne m'en sors pas..

Posté par
Pirhore : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 14:40

Bonjour,

en attendant le retour de lake que je salue

2 b) regarde plutôt du côté des suites géométriques

Posté par
Pirhore : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 14:43

oups! sorry lake; je viens de voir que tu étais là

je vous laisse

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 14:44

2)a) Non, ta remarque ne va pas.

  S_n représente la somme des aires des n rectangles de largeur \dfrac{1}{n} et de longueur f\left(\dfrac{k}{n}\right) pour k variant de 0 à n-1.

Regarde la figure de 22h37 (faite pour n=8).

2)b) Non pas de récurrence; un calcul direct en remarquant que cette somme est la somme de n termes consécutifs  d'une suite géométrique de raison  e^{i\dfrac{\pi}{n}}.

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 14:45

Bonjour Pihro,

Rien de grave !

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 14:53

Ok pour 2-b)

2-a) Je ne sais pas répondre.. je vois la figure.

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 14:55

Mais je viens te t'indiquer la réponse à 14h44 !

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 15:16

Je vois.

2-c)

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 15:28

2)c) S=1+e^{i\dfrac{\pi}{n}}+e^{i\dfrac{2\pi}{n}}+\cdots +e^{i\dfrac{(n-1)\pi}{n}}=1+\cos\,\dfrac{\pi}{n}+\cos\,\dfrac{2\pi}{n}+\cdots+\cos\,\dfrac{(n-1)\pi}{n}+\,i\,\left(\sin\,\dfrac{\pi}{n}+\sin\,\dfrac{2\pi}{n}+\cdots+\sin\,\dfrac{(n-1)\pi}{n}\right)

D'où \sin\,\dfrac{\pi}{n}+\sin\,\dfrac{2\pi}{n}+\cdots+\sin\,\dfrac{(n-1)\pi}{n}=\Im(S) où \Im est "la partie imaginaire de").

Bref : \sin\,\dfrac{\pi}{n}+\sin\,\dfrac{2\pi}{n}+\cdots+\sin\,\dfrac{(n-1)\pi}{n}=\Im\left(\dfrac{2}{1-e^{i\dfrac{\pi}{n }}}\right)

  qu'il faut calculer pour parvenir au résultat demandé

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 16:32

J'arrive à \Im(S)=\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{n}}{1-\cos\dfrac{\pi}{n}} et j'ai envie de montrer par récurrence que c'est égal à ce que l'énoncé demande.

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 16:33

Mais ça fait un peu long pour une déduction..

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 16:37

Citation :
J'arrive à \Im(S)=\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{n}}{1-\cos\dfrac{\pi}{n}}


Exact.

Récurrence : mauvaise idée.

Maintenant, un peu de trigo en exprimant numérateur et dénominateur en fonction des arcs moitié.

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 16:41

Arcs moitié ?

Vous parlez de la fonction (tan-1)/2 ?

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 16:45

Non, je dis simplement que la moitié de \dfrac{\pi}{n}, c'est \dfrac{\pi}{2n}

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 16:51

Ah ok.

Quelle relation entre π/n et π/2n ?

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 16:55

Comme déjà dit : l'un est la moitié de l'autre ou l'un est le double de l'autre.

Il y a quand même un minimum à connaître en trigo ; par exemple :

  \sin\,2a=2\,\sin\,a\,\cos\,a

  1-\cos\,2a=2\,\sin^2a

Posté par
malou Webmasterre : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 17:08

Bonjour à tous les deux

> matheux14, fiche à potasser Savoir utiliser le cercle trigonométrique et formules de trigonométrie
une fois qu'on a les premières formules, on s'entraîne à retrouver toutes les suivantes qui découlent les unes des autres
ce n'est plus la mode en France, mais c'est bien utile à connaître et à savoir faire

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 17:15

Merci malou

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 18-05-21 à 19:11

Je les connaissais mais je ne savais pas vraiment comment les utiliser.. Je vois maintenant.

Merci et bonne soirée

Posté par
lakere : Intégrales , suites et nombres complexes. 19-05-21 à 15:11

Bonjour,

Je viens de regarder la fiche : Savoir utiliser le cercle trigonométrique et formules de trigonométrie

Elle est remarquable
Je connais très bien mon formulaire de trigo; \sin\,3a et \cos\,3a, pas vraiment de surprise; j'ai cependant été un peu estomaqué d'y trouver \tan\,3a (que je ne connaissais pas)

Posté par
malou Webmasterre : Intégrales , suites et nombres complexes. 19-05-21 à 19:56

Merci
J'apprenais à mes élèves comment à partir de quelques-unes (très peu), retrouver toutes les autres dans des temps records, en n'écrivant que ce qui était utile...et petites interrros régulièrement très courtes pour maintenir le savoir et les savoir faire...

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 19-05-21 à 20:14

Bonsoir malou , c'est ce que j'essaie de faire , mais je ne parviens pas à retrouver les formules à partir d'autres. D'habitude je me vérifie avec la calculette.. histoire de ne pas me tromper. Comme par exemple cos(a+b) et sin(a+b)..

De quelle formule on part précisément ?

Posté par
malou Webmasterre : Intégrales , suites et nombres complexes. 19-05-21 à 20:25

ces deux là, elles sont faciles à retenir (et tu as intérêt à les savoir par coeur), mais derrière les autres en découlent

Posté par
malou Webmasterre : Intégrales , suites et nombres complexes. 20-05-21 à 08:34

Je reviens sur ce sujet
ma réponse d'hier était destinée à un élève de 1re
mais c'est vrai, toi tu es en terminale
donc même ces 2 formules, tu peux les retrouver facilement grâce aux complexes, sans connaissances particulières
tu sais que
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
soit
e^{i(a+b)}=\cos(a+b)+i\sin(a+b)=e^{ia}e^{ib}=(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b))
tu développes le produit de droite et par identification de complexes écrits sous forme algébrique, tu retrouves cos(a+b) et sin(a+b)
OK ?

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 20-05-21 à 15:37

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 20-05-21 à 16:13

Les autres formules je suis entrain d'essayer de les retrouver.

Posté par
malou Webmasterre : Intégrales , suites et nombres complexes. 20-05-21 à 16:26

1. \cos(a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \\ 2. \sin(a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b

tu pars de là, puis tu peux remplacer b par -b
cela te donne les 2 autres

tangentes : moins utilisé, tu fais le quotient et tu mémorises que tu veux 1 au dénominateur, donc tu vois par quoi tu divises haut et bas

les duplications : faire a=b dans les formules précédentes
et y joindre cos²x+sin²x=1 pour trouver les 2 autres pour cos(2x)

cos(3a) = cos(2a+a)
se fait en plusieurs étapes, mais on ne fait ça qu'à la demande

linéarisation
cos², sin², tan²
se tirent des formules de duplication vues au dessus qu'on inverse

et les suivantes
se tirent des formules d'addition que tu ajoutes ou soustrais membre à membre

le "on peut en déduire"
dans 4/5/6, on pose p=...et q=....et on trouve les 3 premières, et pour la 4e, on remplace q par -q

enfin les formules où on ramène tout en tan(a/2) peuvent être intéressantes pour débloquer certaines situations, car cela permet de tout mettre en fonction d'une seule inconnue

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 21-05-21 à 07:25

Merci malou , j'aimerais aussi savoir retrouver les formules des écritures complexes des transformations usuelles du plan.

Par exemple , comment on arrive à H(\Omega(\omega) ; k) \Rightarrow z'-\omega =k(z-\omega) (H : homothéties).

R(\Omega(\omega) ;\theta) \Rightarrow z'-\omega =e^{i\theta}(z-\omega) (R : Rotation)

Posté par
malou Webmasterre : Intégrales , suites et nombres complexes. 21-05-21 à 07:48

facile pour les retrouver
repartir toujours de ce que cela veut dire vectoriellement

par H(\Omega(\omega) ; k) : M \longrightarrow M' soit \vec{\Omega M'}=k\vec{\Omega M}
cette égalité vectorielle, quand tu passes aux complexes, donne immédiatement
z'-\omega=k(z-\omega)

pour la rotation, fais un croquis sur ton brouillon

Intégrales , suites et nombres complexes.

tu sais que par les complexes, tourner d'un angle , c'est multiplier par \text e ^{i\theta}

\vec{\Omega M'} est l'image de \vec{\Omega M} par une rotation d'angle
soit

z'-\omega=\text e ^{i\theta}(z-\omega)

Posté par
matheux14re : Intégrales , suites et nombres complexes. 21-05-21 à 08:24

Et pour les similitudes ?

Posté par
malou Webmasterre : Intégrales , suites et nombres complexes. 21-05-21 à 08:33

ben tu repars toujours des vecteurs
du genre,composée d'une rotation et d'une homothétie de rapport k
cela va s'écrire

z'-\omega=k \text e ^{i\theta}(z-\omega)

mais très souvent on part aussi de la forme z'=az+b avec a 0

tout dépend de la forme de l'exo


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