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Intégration
Bonjour
On cherche à calculer une primitive de :
1/(x+sqrt(x-1)).
J'ai essayé de faire cela en posant comme changement de variable :
t = sqrt(x-1) <=> x=t²+1 et j'arrive sur :
1/ (t² + t +1). Soit donc :
2t*dt/(t²+t+1)
Ce qui me donne comme résultat :
ln(|x+sqrt(x-1)|) - 2/(sqrt(3)) arctan ((2sqrt(x-1) + 1)/ sqrt(3))
Résultat qui est faux, d'après les corrigés dont je dispose. J'ai surement fait une erreur sur la méthode : quelqu'un pourrait-il m'aider?
Merci baucoup
Bonjour Thommmm
Lorsque tu as t²+t+1 au dénominateur j'ai is sous la forme canonique: (t+1/2)²+3/4 puis j'ai channgé de variable,
x=t+1/2
dx=dt
Voila si ca peut t'aider
C'est en faisant cela que je tombe sur le résultat que j'ai écrit plus haut. J'ai du faire une erreur avant...
Je trouve après:
primitive de: 2x/[x²+sqrt3/2)]-1/[x²+sqrt3/2)]
d'ou: ln(3/4+x²)-2/sqrt3 * arctg 2x/sqrt3
Sauf erreur
Je trouve après:
primitive de: 2x/[x²+(sqrt3/2)²]-1/[x²+(sqrt3/2)²]
d'ou: ln(3/4+x²)-2/sqrt3 * arctg 2x/sqrt3
Sauf erreur
Bonjour à vous, Thommm et marcfo !
Je me permets d'intervenir pour vous dire que je suis d'accord avec ... vous deux !
En effet, le x qui apparait dans le résultat de marcfo n'est plus le même que celui de l'énoncé. Si on lui fait subir les deux changements de variables, on retombe sur l'expression de Thommm.
Quel est le résultat donné sur ton corrigé, Thommm ?
On pourra toujours le dériver pour vérifier s'il n'y avait pas une erreur dans l'énoncé.
Thommm
L'expression de la primitive que tu donnes est correcte.
Juste une petite remarque:
Comme f(x) = 1/(x+V(x-1)) n'existe que pour x >= 1, x+V(x-1) est forcément strictement positif dans le domaine d'existence.
Il n'est donc pas nécessaire de mettre la valeur absolue dans l'expression de la primitive.
f(x) = 1/(x+V(x-1))
F(x) = ln(x+V(x-1)) - (2/V3) arctan((2V(x-1) + 1)/ V3)
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Ce qui peut expliquer la différence avec le corrigé.
F(x) est définie à une constante près et donc:
F(x) = ln(x+V(x-1)) - (2/V3) arctan((2V(x-1) + 1)/ V3) + K
Rien n'empêche par exemple de poser K = ln(K') avec K' > 0, on aurait alors:
F(x) = ln(x+V(x-1)) - (2/V3) arctan((2V(x-1) + 1)/ V3) + ln(K')
F(x) = ln(x+V(x-1)) + ln(K') - (2/V3) arctan((2V(x-1) + 1)/ V3)
F(x) = ln(K'(x+V(x-1))) - (2/V3) arctan((2V(x-1) + 1)/ V3)
On peut donner à K' la valeur qu'on veut (strictement positive) et l'expression peut alors différer de la tienne.
Si tu veux savoir si il y a une erreur entre le corrigé et ta solution, mets les 2 expressions de F(x) (la tienne et celle du corrigé) pour x >=1 sur un même graphique et vérifie que les 2 courbes sont identiques à un décalage constant en ordonnée près.
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Sauf dstraction. 
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