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Intégration

Posté par
alexis0587 20-11-07 à 13:00

Bonjour,
Je bloque sur un calcul d'intégrale.
Je voulais calculer E={(x,y)app R^2 / y>=0 et x^2+y^2=1} c'est a dire le demi cercle supérieur de rayon 1 avec les intégrales.

On a donc Int(Int(1,0,sqrt(1-x^2))d,-1,1)dx = Aire de E

Mais je n'arrive pas a trouver Int(sqrt(1-x^2),-1,1)dx. Il faut surement faire un changement de variable vu que la primitive ne se trouve pas facileemnt mais je ne le vois pas :s

Si quelqu'un pouvais m'apporter de son aide.

Merci d'avance

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégration 20-11-07 à 13:15

\int \sqrt{1-x^2}\ dx

Poser x = sin(t)
dx = cos(t) dt

\int \sqrt{1-x^2}\ dx = \int \sqrt{1-sin^2(t)} cos(t) dt

= \int cos^2(x) dx = \frac{1}{2} \int (1+cos(2t)) dt = \frac{1}{2}(t + \frac{sin(2t)}{2})

x = -1 --> t = -Pi/2
x = 1 --> t = Pi/2

\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = \frac{1}{2}[(t + \frac{sin(2t)}{2})]_ {-pi/2}^{pi/2}

\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = \frac{1}{2} . \pi

\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = \frac{\pi}{2}

C'est l'aire d'un demi cercle de rayon 1.
-----
Sauf distraction.  


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