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integration-2 pour Ryanprepa

Posté par
malou Webmaster 10-08-19 à 14:20

re
On teste tes réactions un peu...

On donne I=\int _0 ^{\frac{\pi}{4} }sin^2x \;cos^4 x \; \text{d}x

J=\int _0 ^{\frac{\pi}{4} }cos^2x\;sin^4x\;\text{d}x

Calculer : I+J; I-J ; I ; J .

à toi

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 16:31

Je viens de commencer et je galere hahaha

C'est normal ?

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 16:35

J'ai reussi a simplifier I+J par l'integrale De 0 a pi/4

de cos(x)^2sin(x)^2

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 17:48

Une question
Ca nécessite changement de variable ou integration par partie ?

Car je n'en ai jamais fait

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 17:54

ni l'un ni l'autre a priori, car je sais que tu n'as pas fait
...
va voir du côté des formules de trigo....

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 17:56

Oui j'ai compris merci je redige ca d'ici une petite heure

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 17:57

parfait ! c'est ça chercher....quand ça fonctionne pas d'un côté, on se demande quelles connaissances on a pour avancer sur une autre piste !

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 18:57

J'ai réessayé mais je ne vois pas du tout

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 18:57

Surtout comment primitiver

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 19:33

trigo...trigo...
Savoir utiliser le cercle trigonométrique et formules de trigonométrie

transforme ton expression pour obtenir quelque chose que tu sais intégrer

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 19:33

Il faut utiliser les formules d'Euler?

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 20:26

Pour I+J comme primitive je trouve

x-1/2 sin(2x)

Mais je doute

Posté par
carpediemre : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 20:41

salut

puisqu'on demande I + J et I - J avant de chercher une primitive cherche à simplifier \sin^2 x \cos^4 x \pm \cos^2 x\sin^4 x

avec les liens de malou et alors les primitives seront aisées ...

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 20:50

C'est deja fait

C'est bon j'ai trouve merci

Avant de rédiger je trouve la primitive

X-1/4*cos(4x)

Avec 1/8 la constante que j'ai passé devant l'integrale

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 20:54

on ne dit pas la primitive mais une primitive !!
c'est pour I+J que tu trouves ça ? si oui, je n'ai pas la même chose...
si c'est pour I-J, non plus....

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 21:01

mais je pense que tu avances dans la bonne direction....mais faut tout vérifier

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 21:18

Je parlais pour I+J..

Sommes nous d'accord que en simplifiant I+j on obtient cos^(x)sin(x)^2 ?

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 21:44

Ou alors je me suis trompe ?

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 10-08-19 à 21:49

Ryanprepa @ 10-08-2019 à 21:18

Je parlais pour I+J..

Sommes nous d'accord que en simplifiant I+j on obtient cos^2(x)sin(x)^2 ?


oui, transforme ça...

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 11-08-19 à 10:43

Ryanprepa, faut pas que cela te démoralise...
il faudrait que tu arrives à écrire ça pour pouvoir intégrer, vu que tu sors de terminale
--> ou bien avec une fonction qui aurait un exposant à la condition d'avoir une dérivée à côté
--> ou bien linéarisé, c'est à dire qu'il n'y ait plus d'exposant

il faut savoir aussi que quand nous avons fait nos études, il nous est arrivé de noircir des pages qui ne servaient à rien....mauvaise direction...pas grave, on apprend ainsi....et puis à force de faire ça, on trouve les bons chemins beaucoup plus rapidement ensuite, tout en mémorisant de mieux en mieux l'existence de certaines formules, particulièrement en trigo...

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 11-08-19 à 10:50

Oui c'est exactement ce que j'allais vous dire merci.J'ai trouvé I+J

La je suis en train de calculer I-J et je crois que j'ai trouvé je vous rédige proprement.

En tout cas ca m'aide a beaucoup mieux manipuler la trigo

Posté par
carpediemre : integration-2 pour Ryanprepa 11-08-19 à 12:22

et pour compléter le msg de malou : tout échec présent est une réussite future !! avec un travail sérieux, impliqué, appliqué et personnel bien sur !!

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 11-08-19 à 23:48


Merci énormément a vous
Bon pour I+J

I+J=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cos^2(x)sin^4(x) {dx}+\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cos^4(x)sin^2(x){dx}

Par linéarité de l'integrale :
\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cos^2(x)sin^4(x)+cos^4(x)sin^2(x){dx}

soit f:x\rightarrow cos^2(x)sin^4(x)+cos^4(x)sin^2(x)
f(x)=Cos^2(x)sin^2(x)(sin^2(x)+cos^2(x))
Cos^2(x)Sin^2(x)
(Cos(x)sin(x))^2
\frac{1}{4}sin^2(2x)
\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}sin^2(x){dx}
\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{2}(1-cos(4x)){dx}
\frac{1}{8}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\(1-cos(4x)){dx}
Soit F une primitive de 1-cos(4x)

F(x)=x-\frac{1}{4}sin(4x)

Ainsi
\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cos^2(x)sin^4(x)+cos^4(x)sin^2(x){dx}=\frac{1}{8}(x-\frac{1}{4}sin(4x))= \frac{x}{8} -\frac{sin(4x)}{32} (de 0 a pi/4 mais je n'ai pas trouvé la notation avec les crochets)
=\frac{\pi }{32}

Normalement c'est bon et si vous pouviez me dire si des choses ne vont pas dans la rédaction svp ?

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 00:11

Et je voulais savoir malou

J'ai reussi a faire I-J mais j'ai du faire une petite erreur de calcul..
Pouvez-vous me dire si en simplifiant on trouve bien cos^2(x)sin^2(x)cos(2x)?

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 00:36

Car si c'est le cas on retrouve bien la forme u'u^2 et donc la primitive est évidente

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 08:56

pi/32 est OK
pour I-J, oui c'est ça
je reviens quand j'ai un peu plus de temps...

Posté par
carpediemre : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 13:27

à nouveau il faut être plus efficace dans ta rédaction (la linéarité de l'intégrale sera un acquis en sup ainsi que la donnée immédiate d'une primitive aussi élémentaire) et toujours ces confusions entre \iff  et  =  ... et cela te coûtera par contre cher !!!

je pose p = \dfrac \pi 4 (uniquement ici mais sur ma copie je garderai bien sur pi/4)

I + J = \int_0^p \cos^2 x \sin^4 x dx + \int_0^p \sin^2 x \cos^4 x dx = \int_0^p \sin^2x \cos^2 x (\cos^2 x + \sin^2 x) dx = \dfrac 1 4 \int_0^p \sin^2 2x dx = \dfrac 1 8 \int_0^p (1 - \cos 4x)dx = \dfrac 1 8 [x - \dfrac 1 4 \sin 4x]_0^p = ...

ce qui fait une ou deux lignes de calcul grand max !!!

éventuellement tu rajoutes en dessous :

par linéarité de l'intégrale

mais l'ensemble des étapes sont/seront (quasi) évidentes en spé et pour les concours des grandes écoles

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 13:59

D'accord donc je dois aller droit au but mais une question comment ecrit-on la primitive entre crochet svp ?

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 14:07

avec les crochets habituels

[\dots ] _0 ^{\frac{\pi}{4}}

[\dots ] _0 ^{\frac{\pi}{4}}

Posté par
alb12re : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 14:25

salut,
on peut adapter la hauteur des crochets:
\left[x-\dfrac14\sin(4x) \right] _0 ^{\frac{\pi}{4}}
pour avoir:

\\ \left[x-\dfrac14\sin(4x) \right] _0 ^{\frac{\pi}{4}} \\

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 20:39

Voila pour J j?ai essaye d?etre Concis comme vous monsieur carpediem

\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cos^2(x)sin^4(x){dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}sin^2(x)(\frac{1}{2}sin(2x))^2{dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{2}(1-cos(2x))\frac{1}{4}sin^2(2x){dx}=\frac{1}{16}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(1-cos(2x))(1-cos(4x)){dx}= \\ \frac{1}{16}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}1-cos(4x)-cos(2x)+\frac{1}{2}cos(2x)+cos(6x){dx}==[\frac{x}{16} -\frac{sin(4x)}{64}-\frac{sin(2x)}{64}+\frac{sin(6x)}{192}] _0 ^{\frac{\pi}{4}} =[tex]=\frac{3\pi -4}{192}

Pour info j?ai finit l?exercice c?est juste que ca prend du temps pour rédiger des fois

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 20:53

bel effort
je t'ai mis un saut de ligne, car on n'y voyait pas grand chose
le saut de ligne c'est \\


mais je ne comprends pas ce que tu calcules
c'est I-J que tu dois calculer, pas I tout seul

tu peux aller récupérer tes codes en cliquant sur la petite agrafe (voir le code source) en haut à droite de ton message

Posté par
carpediemre : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 21:20

hou la oui bel effort ... que je ne vérifierai même pas ...

on te demande de calculer I + J et I - J et d'en déduire I et J ... sinon pourquoi s'em...

donc la question est : une fois connue I + J et I - J (qui sont relativement aisés à calculer) comment obtenir simplement I et J ?

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 21:31

Merci

Ah j'ai deja calcule I-J je pensais l'avoir deja poste zut
Aaaah d'accord je pensais que je devais tout faire séparément flute

Ducoup il suffirait de faire I+J-(I-J) puis diviser par 2 pour avoir J  non ?

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 21:36

oui, c'est bien la démarche attendue

je t'en avais mis un autre l'autre jour ! une intégrale-1 pour Ryanprepa

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 12-08-19 à 21:56

Merci beaucoup

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 13-08-19 à 00:42

I-J=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(cos(x)sin(x))^2cos(2x){dx}=\left[\frac{cos^3(x)sin^3(x)}{3} \right] _0 ^{\frac{\pi}{4}} =\frac{1}{24}



J=\frac{(I+J)-(I-J)}{2}=\frac{3\pi -4}{192}\\I=I+J-J=\frac{3\pi +4}{192}

Posté par
malou Webmasterre : integration-2 pour Ryanprepa 13-08-19 à 09:12

alors, résultats OK, perso moi je laissais I et J sous la forme de la somme ou de la différence de deux fractions pi/64 1/48
Je ne réduis au même dénominateur que si ça sert à quelque chose, mais c'est personnel

mais tu as voulu tellement faire court que là, au moins moi, je ne comprends pas quelle a été ta démarche d'intégration (en tout cas écrit ainsi)
mais je répète, c'est bon
on va voir ce que dit carpediem

Posté par
carpediemre : integration-2 pour Ryanprepa 13-08-19 à 13:30

oui pour ce qui est des fractions ... ben tout dépend de la situation ...

dans le cas présent je suis ni pour ni contre ... bien au contraire ... tout ça pour dire que je n'ai pas d'avis pertinent à formuler ...

peut-être que je laisserai une somme, peut-être que je réduirai au même dénominateur mais très certainement dans ce cas et sur ma feuille je l'écrirai comme un produit \dfrac 1 x (b - a) pour m'éviter des traits de fraction "à rallonge"

ainsi par exemple j'écrirai toujours :

2j = (i + j) - (i - j) plutôt qu'une grande fraction de dénominateur 2 (car il est trivial (depuis la primaire) de diviser par 2 une quantité) ... ou alors j'écrirai \dfrac 1 2  [....] qui me semble toujours plus propre et aisé à écrire ... toujours dans un soucis d'efficacité et de lisibilité de (ma) rédaction ...

Posté par
Ryanprepare : integration-2 pour Ryanprepa 14-08-19 à 19:51

D'accord merci beaucoup pour les conseils

Posté par
carpediemre : integration-2 pour Ryanprepa 14-08-19 à 23:58

de rien


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