Bonjour Celine

As-tu vu les fonctions trigo inverses ?

Si oui, en faisant le changement de variable x=sint(t) , tu devrais trouver :

F(x) = (1/2) [ arcsin(x) + x(1-x²) ] + C

Philoux

salut Céline77 et hiloux :

je suis d'accord pour le changement de variable x = sin(t)

Mettons que tu dois calculer  


                  

Or sur [0,/2] , le cosinus est positif on obtient donc :


                  
                  
                  
                  

la primitive est donc ici en bleue. Attention, tout dépend aussi de l'intervalle sur lequel tu es. En effet, ici j'ai pris un intervalle sur lequel cos(t) était positif, mais si il est négatif, ça peut changer quelque signe ...

@+ sur l'
lyonnais

oups c'est philoux et pas hiloux -> désolé ...

Je vois que tu es connecté. Peux tu venir vérifier ce que j'ai fait philoux stp ? Parce que j'ai pas vu les changements de variables en cours et j'ai peur de dire à Céline77 de grosses bétises ...

merci d'avance !

C'est bien lyonnais.  

Sauf que c'est UNE primitive et pas LA primitive que tu devrais indiquer et qu'il ne faut pas mettre les bornes d'intégration pour une primitive.

Si tu veux vraiment une primitive :

Tu as donc trouvé :

et t = arcsin(x), donc:



Tu peux la laisser sous cette forme ou alors travailler sur la partie sin(2.arcsin(x))

Par exemple ainsi:
sin(2.arcsin(x)) = 2.sin(arcsin(x)).cos(arcsin(x))

sin(2.arcsin(x)) = 2.x.cos(arcsin(x))

Or

et donc  

On a donc finalement:




Tu peux ajouter + C pour avoir toutes les primitives dans Df = [-1 ; 1]

Salut lyonnais

J'étais connecté mais absent !

J-P t'a réglé le pb

Ce dont je ne suis pas sûr c'est ta remarque sur la question de signe en passant de racine(cos²) = |cos| à 9h20

Philoux

merci J-P et philoux

je crois que j'ai donc finalement compris comment changer de variable ( je m'entraîne pour math sup )

@+

Changer de variables x1,x2,x3,...,xn revient à trouver des fonctions bijectives
phi1
phi2
phi3
...
phin
et des variables r1,r2,r3,...,rn
Ainsi que le nouveau domaine D' en fonction de ces nouvelles fonctions.
Notamment, si tu exprimes tes anciennes variables en fonction de tes nouvelles variables
x1=phi1(r1,...,rn)
x2=phi2(r1,...,rn)
x3=phi3(r1,...,rn)
...
xn=phin(r1,...,rn)

Tu dérives phi en fonction de chacune des variables et tu mets tout ca dans une matrice J

dphi1/dr1      dphi1/dr2    ...     dphi1/drn
dphi2/dr1      dphi2/dr2    ...     dphi2/drn
dphi3/dr1      dphi3/dr2    ...     dphi3/drn
...            ...          ...     ...
dphin/dr1      dphin/dr2    ...     dphin/drn


Tu calcules le déterminant de cette matrice, que l'on appelle jacobien, que je note Jac, et dans ce cas

_Df(x1,x2,....,xn)dx1dx2...dxn = _D'f(phi1(r1,r2...),phi2(r1,r2,...),...)*|Jac|dr1dr2...drn


Dans le cas d'une fonction à une variable, tu as que
|jac|=phi'(r), et notamment tu as
_Df(x)dx=_D'f(phi(r))phi'(r)dr

Sauf erreur(s) de ma part.
Amicalement,
Otto

salut otto :

Et ba, ça c'est ce que j'appelle de la démo. Personnellement, je comprend plus rien à partir du mot " matrice ", mais on est d'accord, on retombe bien sur le théorème suivant ( que j'ai trouvé sur le net ) :

Théorème : si est une bijection dérivable
de [ ; ] sur [a ; b] tel que :

() = a   et   () = b

et dont la dérivée est continue
alors pour toute fonction f continue sur [a ; b] :



merci quand même pour la démo !

@+ sur l'
lyonnais

Salut,
je ne t'ai pas fait une vrai démo ici, je voulais juste te montrer qu'il existait un cas général, que je trouve plus simple à manipuler, bien que moins lisible et pas compréhensible si on ne connait pas la théorie.

C'est comme beaucoup de choses en maths, on peut rendre ca très simple, mais il faut souvent développer des outils très compliqués pour çà. Un bel exemple est la théorie de Lebesgue sur l'intégration, elle est très simple à utiliser, et permet d'utiliser des hypothèses très très très faible par rapport à la construction de Riemann, mais elle est très très difficile à construire.
Ici c'est un peu ca, mais en moins nuancé.

En dimension n ce n'est pas très évident à voir, mais en dimension 1, on voit bien ce qui se passe:
Lorsque l'on se déplace de la quantité x, on se déplace de la quantité phi(t).
Lorsque l'on déplace de la quantité dx, on se déplace de la quantité dphi(t)=phi'(t)dt (puisque phi'(t)=dphi/dt).
Lorsque x=u t=phi^-1(u) et x=v t=phi^-1(v).

On voit donc bien comment ca se passe sur R
En dimension n c'est plus compliqué parce qu'il y'a beaucoup de produits et de sommes qui interviennent (déterminant).

A+

Bonjour,

La remarque de Lyonnais à 09:20 m'interpelle :

...j'ai pris un intervalle sur lequel cos(t) était positif, mais si il est négatif, ça peut changer quelque signe ...

Qd on a, après changement de variable x=sint, Somme[ cos(t) . racine( cos²(t) ] = Somme [ cos(t).|cos(t)| ]

Comment "éliminer" la valeur absolue qui n'a pas lieu d'être et d'éviter les examen de cas que Lyonnais allait faire ?

En disant que la courbe y = +racine(1-x²) = cos(t) est tjs positive ?

Philoux

En général tu ne peux pas tellement éviter celà.
Une solution serait de découper ton intervalle en intervalles sur lesquels c'est positif, et où c'est négatif, et de faire la différence des deux.
Je ne vois pas tellement d'autre solution à première vue...

OUi mais dans le cas d'une recherche de primitive, sans connaissance des intervalles ?

Philoux

Dans ce cas tu fais la même chose, mais tu essaies de raccorder les primitives que tu trouves sur chaque intervales je pense.
Un exemple bateau:
Primitive de |x|:

Tu la recherches sur R+ et sur R- séparément.
Sur R+ tu trouves x²+k, et sur R- tu trouves -x²+k'
Le problème de raccordement va se situer en 0 (il faut que notre fonction soit dérivable, donc entre autre continue)
Notamment en 0, on voit qu'il faut que k=k'
Donc une primitive de |x| est
x|x|+k
sur R tout entier.
Amicalement,
Otto

merci philoux de poser la question, j'ausais pas trop le faire !

Parce que par exemple, si l'on se place sur [/2 ; ] , le cosinus va être négatif.

Est-ce ue ça change la primitive ?

AH ... bien vu !

Très parlant ton exemple de |x|

Merci otto

Philoux

Non lyonnais 16:09

Le cos est tjs >0 car vaut racine(1-x²)

Le t n'est pas placé comme à l'habitude...

Philoux

ok merci à tous les deux  

je crois que cette fois-ci j'ai tout compris !

et je suis d'accord avec philoux : vraiment parlant ton exemple otto : merci

@+ sur l'
lyonnais

lyonnais,

Encore une petite explication si tu veux. (dis avec d'autres mots).

Pour reprendre l'exercice du début.

x ne peut varier que dans [-1 ; 1]
f(x) = V(1-X²) est continue dans cet intervalle.

Si on fait le changement de variable x = sin(t)
g(x) = sin(x) doit être continue et pouvoir varier de -1 à 1. On pourra alors choisir donc son intervalle max de variation dans [-Pi/2 ; Pi/2]

L'avantage de choisir cet intervalle pour t est que dans cet intervalle, cos(t) reste positif et que donc dans tout cet intervalle, on a: V(cos²(t)) = cos(t) (jamais besoin du signe -)

Et donc convient partout pour être équivalent à

Et donc la primitive trouvée à la fin de l'exercice conviendra pour calculer une intégrale de la fonction quel que soit les bornes de la variable x dans [-1 ; 1] à condition de calculer les butées équivalentes de la variable t dans [-Pi/2 ; Pi/2]
-----
Sauf distraction.  

ok merci J-P :  

c'est pour cela qu'ici on ne pouvait pas avoir d'intervalle [Pi/2 ; Pi] en t ...

j'ai tout compris maintenant.

Bonjour


je comprend pourquoi on a transformé 1-x² en cos² t, mais pourquoi est ce que vous multipliez avant par cos t ??

Salut,
regarde mon post de
27/06/2005 à 15:39
tu verras que j'explique notamment ceci.

Le problème vient du fait que si tu changes x en une fonction f de t, il faut que tu changes également dx, qui sera une fonction de dt, en fait ce sera exactement df(t)=f'(t)dt.
A+

Parce que à partir de sin(t) = x

on a en différentiant cos(t) dt = dx

Et donc le "dx" doit être remplacé par "cos(t) dt" après le changement de variable.

Mais en terminale, si on a appris les dérivées, je ne suis pas sûr qu'on a appris les différentiations et cela peut expliquer la difficulté de compréhension.

Salut JP,
de mon temps, (il n'y a pas si longtemps non plus) on définissait la différentiation comme étant la dérivation (ce qui dans R est équivalent).
On dit que f est dérivable en x s'il existe un nombre a et une fonction r telle que
f(x+h)=f(x)+ah+r(h) avec r(h)/h qui tend vers 0 en 0.
C'est en fait la définition de la différentiation, et a est la différentielle de f au point x.
Dans le cas général, être dérivable n'entraine pas être différentiable (j'entend par dérivable que les limites de
|f(x+h)-f(x)|/|h| existent et sont finies) et en revanche on a l'inverse.
C'est dommage que l'on ne s'en serve pas au lycée car c'est souvent très utile.