Soit la fonction définie sur par



Cette fonction est définie, continue sur . Elle y est même paire. En effet, pour tout dans , l'on a dans et (identité à vérifier !). Ce constat nous conduit à poser



Autre méthode : L'application définie par est une bijection de sur . L'on a donc :



A +

Bonjour,

Moi j'ai lu dans le titre intégration ? ? ? (dans le sens de primitives)

Je vois que la réponse est toute donnée.

Sinon j'avais formulé un simple coup de pouce:

Fonction paire............
Exemples: (-x)² = x².
f(x) =(x4  - 16 x² -1)/16 est une fonction paire car f(-x) = f(x). Pour cette fonction, I(1,3) = I(-3,-1) = -I(-1,-3), voir graphique ci-joint. (je ne sais pas posté le graphique en PDF)

André

PS: pour trouver les primitives c'eut été un peu plus corsé.
Poser 1/U - x²/U avec U = (1 + x²)(1 + x⁴)

Bonjour,

Merci à vous deux pour vos réponse.

j'arrive à la dernière question, on me demande de calculer I(a,b) en posant t= x+(1/x).

je n'arrive pas à mettre 1+x⁴  sous la forme K x t

Re- bonjour,

A mon avis, c'est l'avis d'un ami,il n'y a pas de primitive à calculer, c'est de la théorie sur les changements de variable dans l'intégrale. La question a été élégamment résolue résolue  par DHilbert.

Il n'y a rien à faire de plus que de relire et comprendre de cours du prof.

Pour la primitive de la fonction proposée elle ne s'exprime probablement pas à l'aide des fonctions élémentaires. Toute tentative dans ce sens échouera.

André

Bonjour,

Pour en revenir au problème proposé:

La primitive est calculable! avec le changement de variable t = x+1/x.  

dt = (x²-1)/x²  dx .  On est ramené au calcul de la primitive de  -1/(t(t²-2))  où t² > 2.

On pose t= (2 ) ch(u) .  

dt  = (2)  sh(u) du . On est ramené au calcul de la primitive de   -1/( (2 ) ch(u)) .

On pose e^u = z .



e^udu = dz . On est ramené au calcul de la primitive de - (2 )/(1+z²) , qui est - (2 ) arctan(z)  +  C.

Après il faut déterminer les nouvelles bornes de l'intégrale définie en remarquant que (2 )(x+1/x) = z + 1/z .

Tout cela aux erreurs de calcul près.

Eviter autant que faire ce peut de recopier les erreurs.

André