Niveau Maths sup

integration

Posté par Pulpul (invité) 14-05-06 à 18:58

Bonjour
je dois determiner une relation entre In+1 et In avec $In=\int_0^{x}1/((t^2-t+1)^n)dt$
integration par partie ? avec quelle fonction?
decomposition fractionnelle?
(je n'ai pas fini ce cours c'est peut etre la mon pb )
j'ai ressayé la decomposition canonique mais apres?
merci a vous

Posté par Joelz (invité)re : integration 14-05-06 à 19:31

Bonjour Pulpul

Je vais procéder d'une manière dont je ne sais pas si c'est la plus simple et rapide
Cela va consister à d'abord faire un changement de variable puis intégrer par parties.
On a:
t²-t+1=(t-1/2)²+3/4= $\frac{3}{4}(1+(\frac{2t}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3})^2)$
En posant u= $\frac{2t}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3}$ , on a:
$3$I_n=\int_{-\frac{1}{\sqrt3}}^{\frac{2x}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3}}(\frac{4}{3})^n \times \frac{\sqrt3}{2}\frac{du}{(1+u^2)^n}=(\frac{4}{3})^n \times \frac{\sqrt3}{2}U_n$
où $3$U_n=\int_{-\frac{1}{\sqrt3}}^{\frac{2x}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3}}\frac{du}{(1+u^2)^n}$

En integrant par parties, on a en dérivant tout ce qu'il y a sous le signe integrale:
$3$U_n=[\frac{u}{(1+u^2)^n}]_{-\frac{1}{\sqrt3}}^{\frac{2x}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3}}+\int_{-\frac{1}{\sqrt3}}^{\frac{2x}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3}}\frac{2nu^2}{(1+u^2)^{n+1}}du$

Or u²=u²+1-1
donc $3$\int_{-\frac{1}{\sqrt3}}^{\frac{2x}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3}}\frac{u^2}{(1+u^2)^{n+1}}du=U_n-U_{n+1}$

donc $3$U_n=[\frac{u}{(1+u^2)^n}]_{-\frac{1}{\sqrt3}}^{\frac{2x}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3}}+2n(U_n-U_{n+1})$

De la tu peux en déduire une formule de récurrence sur Un et donc en déduire Un et donc en déduite In avec une des relation établie plus haut

Voila sauf erreur de ma part

Joelz

Posté par re:integration 14-05-06 à 19:46

$I_n=\int_0^{x}\frac{1}{((t-\frac{1}{2})^2+(\frac{sqrt{3}}{2})^2)^n}dt$
$t-\frac{1}{2}=u$ , voir costica48,poste08/05/2006

Posté par Joelz (invité)re : integration 14-05-06 à 19:48

Ah non j'ai mal lu ton énoncé !
Je croyais qu'il fallait calculer directement In ( ce qui aurait marcher si les bornes de l'intégrale était 0 à +oo par exemple ).

Posté par Joelz (invité)re : integration 14-05-06 à 19:51

J'ai rien dit
Je pense qu'en multipliant ma derniere égalité par $(\frac{4}{3})^n\frac{\sqrt3}{2}$ , on arrive à une relation entre In et In+1
Ouf

Posté par Pulpul (invité)re : integration 15-05-06 à 00:28

merci mais je ne comprends toujours pas ton egalité ac Un - Un+1 et l'integrale..

Posté par Joelz (invité)re : integration 15-05-06 à 09:19

Il faut remarquer que u²=(u²+1)-1
et donc $3$\frac{u^2}{(1+u^2)^{n+1}}=\frac{1}{(1+u^2)^n}-\frac{1}{(1+u^2)^{n+1}}$
Les bornes de l'integrale reste les memes, donc on retrouve bien Un et Un+1

Posté par re : integration 25-05-06 à 10:47

Si ça peut aider Pulpul, j'ai eu le même exo à faire il y a 2 jours et la formule de récurence est :

$3$\rm \fbox{I_{n+1} = \frac{2}{3}(\frac{2n-1}{n})I_n+\frac{1}{3n}(1+\frac{2x-1}{(x^2-x+1)^n})}$

Romain

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