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Niveau terminale
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intégration 85

Posté par
Nelcar 14-04-21 à 20:20

Bonsoir,
voici un exercice à faire
Soit I=91 x x  dx
1) en utilisant la méthode d'intégration par parties,montrer que I= 121 - I
2) en déduire la valeur de I

donc u(x)= 1/2x²   u'(x)= x
v(x)= x             v'(x)= 2x

avant d'aller plus loin je voulais savoir si c'était correct

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 14-04-21 à 20:25

Je pense qu'il y a quelques erreurs dans la dérivée de \sqrt{x}

Posté par
heklare : intégration 85 14-04-21 à 20:42

je poserais

u(x)=\sqrt{x} \quad u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

v'(x)=x \quad v(x)=\dfrac{x^2}{2} on aurait alors \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times \dfrac{x^2}{2}=\dfrac{1}{4}\times x\sqrt{x}

Posté par
Nelcarre : intégration 85 14-04-21 à 21:24

ok pour ce que tu mets  au début pour u(x) u'(x) v(x) et v'(x)
mais après je ne comprend pas

je pensais faire :
I=91xx dx=[x*x²/2]91-91 (1/(2x)*x²/2  dx

(1/(2x)*x²/2  je ne sais pas comment tu as fait pour trouvé 1/4 *xx

et comment répondre à la question 1 soit I=121-I

MERCI

Posté par
Nelcarre : intégration 85 14-04-21 à 21:31

je viens de calculer la première partie de l'intégration
[x*x²/2]91

en remplaçant par 9 puis par 1
j'obtiens 121,50 - 0,50 ce qui donne 121

mais je ne comprends pas pourquoi c'est noté dans l'exercice I=121-I

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 14-04-21 à 21:47

\int_a^b u (x) v'(x)\mathrm{d}x=\[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x) \mathrm{d}x


on pose u(x)=\sqrt{x} $ et $ v'(x) =x   on a alors u'(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $ et  $ v(x)=\dfrac{x^2}{2}

maintenant calculons u'(x)v'(x)

u'(x)v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times \dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^2}{4\sqrt{x}}=\dfrac{x\times \sqrt{x}\times \sqrt{x}}{4\sqrt{x}}

On simplifie alors par \sqrt{x}

on a donc \int_1^9 x\sqrt{x}\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^2\sqrt{x}}{2}\right]_1^9-\underbrace{\int_1^9\dfrac{1}{4}x\sqrt{x}\mathrm{d}x}_{\frac{1}{4}I}

\dfrac{5}{4}\int_1^9x\sqrt{x}\mathrm{d}x= \left[\dfrac{x^2\sqrt{x}}{2}\right]_1^9


d'où I=\dfrac{4}{5} \left[\dfrac{x^2\sqrt{x}}{2}\right]_1^9

Posté par
heklare : intégration 85 14-04-21 à 21:59

En prenant u(x)= x et v'(x)=\sqrt{x  on a u'(x)=1 et v(x)= \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}

il y aura aussi un coefficient à I

Erreur de calcul ?

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 09:05

Bonjour hekla

là je suis perdue . J'ai compris jusque avant la simplification.

Et les questions sont :
1) en utilisant la méthode d'intégration par parties, montrer que I=121-I
2) en déduire la valeur de I

moi j'avais fait :
je viens de calculer la première partie de l'intégration
[x*x²/2]91

en remplaçant par 9 puis par 1
j'obtiens 121,50 - 0,50 ce qui donne 121

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 10:10

Bonjour Nelcar

reprenons

on pose u'(x)=x donc u(x)=\dfrac{x^2}{2}

et v(x)=\sqrt{x} d'où v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Calculons [uv]_1^9 \qquad  \left[\dfrac{x^2\sqrt{x}}{2}\right]_1^9=\dfrac{3\times 81}{2}-\dfrac{1\times 1}{2}=121

Écrivons maintenant  v'u \quad v'(x)\times u(x)=\dfrac{x^2}{2}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{x^2}{\sqrt{x}}  

On peut bien considérer que x=\sqrt{x}\times \sqrt{x} Par conséquent x^2=x\times \sqrt{x}\times \sqrt{x}

Il en résulte alors que   \dfrac{x^2}{\sqrt{x}}= \dfrac{x\times \sqrt{x}\times\cancel{ \sqrt{x}}}{\cancel{\sqrt{x}}}

Par suite on a donc v'(x)\times u(x)=\dfrac{1}{4}\times x\sqrt{x} ainsi que \int_1^9 \dfrac{1}{4}\times x\sqrt{x}\mathrm{d}x

Ce que l'on peut encore écrire \dfrac{1}{4}\times I

On a donc montré que I = 121- \dfrac{1}{4}\times I

Il y a donc une erreur dans le livre

D'accord ?

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 10:29

ah !
ok là j'ai mieux compris
Maintenant je coince toujours pour la deuxième partie soit
-91 (1/2x)*(x²/2) dx

pour faire l'intégration par parties
la première c'est bon avec les 121 mais c'est cette partie qui coince toujours.

Je ne sais jamais ce que je dois calculer

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 10:40

Le problème ici est que l'on se retrouve avec l'intégrale de départ
Cela va donc se traiter comme une équation en I


I=121-\dfrac{1}{4}I \iff I +\dfrac{I}{4} =121  donc I=\dfrac{4I}{5} =\dfrac{484}{5}

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 10:45

ok

mais peux-tu m'expliquer comment on fait pour la deuxième partie d'une intégration par parties car là ça coince toujours.

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 10:59

Dans ce cas précis, c'est-à-dire cet exercice, ce que vous appelez la deuxième partie était justement le calcul de départ

Dans les autres cas, on s'est arrangé pour qu'elle corresponde à une intégrale que l'on sait calculer. Le problème est alors de bien choisir u et v

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 11:32

oui mais quand j'ai fait la première partie (là ça va) mais la deuxième partie ou il faut faire
-ba  ...... dx

je ne sais pas ce que je dois faire après

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 11:55

Calculer l'intégrale. En général dans la seconde intégrale, vous savez la calculer. Je ne comprends pas votre problème.
C'est ce que vous avez effectué dans les exercices précédents

Exemple \int_a^b\ln x\mathrm{d}x

u'(x)=1   et v(x)=\ln x  donc u(x)=x et v'(x)=\dfrac{1}{x}

\int_a^b\ln x\mathrm{d}x=[x\ln x]_a^b-\int_a^bx\times \dfrac{1}{x}\mathrm{d}x

Le choix de u et v a été fait de telle sorte que l'on sache calculer la seconde intégrale.
  Dans l'exemple précédent on sait calculer l'intégrale, car on connaît une primitive de 1

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 12:11

OUI ça je sais faire (en principe)
mais c'est pour calculer
-ba x *1/x dx
c'est cette partie que je ne sais pas vraiment comment faire

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 12:22

Si vous simplifiez x\times \dfrac{1}{x}=1 vous avez donc à calculer \int\mathrm{d}x et cela vous savez le faire

à chaque fois dans la seconde partie vous avez à intégrer une fonction plus simple que la première

de (x+1)\text{e}^{2x} on passe à intégrer \text{e}^{2x}

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 14:00

Re,
je viens de prendre l'exemple du livre (d'ailleurs je ne trouve pas comme eu pour v(x)

donc j'ai
e1 x lin(x) dx
u(x)= ln(x)   u'(x)= 1/x
v(x)=x²/2    v'(x)=x

puis je fais
e1 x lin(x) dx=[ln(x)*x²/2]e1-e1 1/x*x²/2 dx

c'est cette partie :
e1 1/x*x²/2 dx  que je ne sais pas comment faire

MERCI

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 14:12

Re,
je viens de reprendre cet exercice
j'ai simplifié ce qui m'a donné x/2

c'est là que j'ai du mal donc la dérivée est x/2 il faut que je retrouve f
je sais que x est x²/2  
donc il faut faire x²/2*2   soit x²/4    c'est à ce point que j'ai du mal

j'ai retrouvé le bon résultat mais je galère encore

si tu as un exemple à me donner à faire pour voir

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 14:21

Évidemment  si vous laissez ainsi il risque d'y avoir des difficultés

\dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2}{2x}=\dfrac{x}{2}

\int_1^\text{e}\dfrac{x}{2}\mathrm{d}x=\Big[\dfrac{x^2}{4}\Big]_1^{\text{e}}=\dfrac{\text{e}^2}{4}-\dfrac{1}{4}

\int_1^{\text{e}}x \ln x\mathrm{d}x= \Big[\dfrac{x^2 \ln x}{2}\Big]_1^{\text{e}}-\left(\dfrac{\text{e}^2}{4}-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{\text{e}^2}{2}-\dfrac{\text{e}^2}{4}+\dfrac{1}{4}

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 14:31

I_1=\int^0_{-2} x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x

I_2=\int^0_{-2} x^2\text{e}^{-x}\mathrm{d}x

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 16:10

j'essaye la première

I1=0-2 xe-xdx
u(x)= x²/2   u'(x)=x  
v(x)= e-x     v'(x)=-e-x
I1=0-2 xe-xdx=[x²/2 *e-x]0-2-0-2 -e-x* x²/2

c'est cette partie que je galère :
0-2 -e-x* x²/2=[e-x* et là je ne sais pas faire

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 16:29

Vous n'avez pas tenu compte de mes conseils  je vous avais dit de prendre pour u(x) le polynôme afin de faire descendre le degré

u(x) =x \qquad u'(x)=1 Chouette il n'y aura plus de x

v'(x)=\text{e}^{-x} \qquad v(x)=-\text{e}^{-x} Ce qui est bien avec l'exponentielle on récupère la même chose à un coefficient près  

\int_{-2}^0 x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x=\bigg[-x\text{e}^{-x}\bigg]_{-2}^0-\int_{-2}^{0}-\text{e}^{-x}\mathrm{d}x

Pour la seconde intégrale on connaît une primitive  donc en principe pas de problème   (\text{e}^u)'=u'\text{e}^u

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 16:40

ok
donc j'ai
[-xe-x]0-2-[-e-x]0-2=

je doute encore
j'ai 1*-e-x=u'*eu donne eu
question : dois-je prendre uniquement -e-x

je ne trouve pas la bonne réponse

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 16:47

Dans l'expression de la seconde intégrale vous n'avez que -\text{e}^{-x}
c'est bien cela qu'il faut prendre

\int_{-2}^0(-\text{e}^{-x})\mathrm{d}x=\bigg[\text{e}^{-x}\bigg]_{-2}^0=1-\text{e}^2

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 17:21

donc j'ai fait les calculs mais bizarrement je ne trouve pas pareil que sur ma calculatrice (elle me donne - 8,389...)
j'ai fait
[-xe-x]0-2-[e-x]0-2
= (-0e-0)-((2e²)-(e-0-e²)
0-2e²-1+e²=-1-e²

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 17:45

Il faut comparer ce qui est comparable. Le résultat que j'avais mis ne concernait que la seconde intégrale

\int_{-2}^0x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x=\bigg[-x\text{e}^{-x}\bigg]_{-2}^0-\bigg(1-\text{e}^2\bigg)

=0-2\text{e}^{2}-1+\text{e}^2=-\text{e}^2-1\approx -8,389

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 18:17

ok
excuses moi je n'avais pas compris

donc la deuxième
I2=0-2 x²e-xdx
u(x)=x²  u'(x)=2   v(x)=-e-x     v'(x)=e-x
I2=0-2 x²e-xdx=[x²*e-x]0-2-0-2 2*-e-x dx
[x²*e-x]0-2-[e-x]0-2

et je ne retrouve toujours pas la bonne réponse

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 18:27

Normal, car la dérivée de x^2 n'est pas 2 mais 2x

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 19:57

ah oui en effet,
donc
la deuxième partie me donne
-0-2 2x * -e-x dx

et je coince toujours sur cette partie

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 20:18

Là, c'est un peu normal  Il faut faire aussi attention aux questions posées

Dans l'exercice 85  en utilisant l'IPP on retrouvait l'intégration de départ

je vous ai mis ici l'intégration précédente  celle que vous veniez de calculer

C'est un peu méchant, mais c'est aussi ce qui avait été donné  il y a quelques lustres,  mais cela servait à définir une suite.

I_1=\int^0_{-2} x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x

I_2=\int^0_{-2} x^2\text{e}^{-x}\mathrm{d}x=\bigg[-x^2\text{e}^{-x}\bigg]_{-2}^0-2I_1


Il y a pire aussi avec les fonctions trigo  2 IPP pour retrouver l'intégrale de départ

Rassurez-vous, ce n'est plus dans l'air du temps

Posté par
Nelcarre : intégration 85 15-04-21 à 20:59

je suis désolée mais je ne comprend pas

pourquoi 2 I 1

moi je suis à
-0 -2 2x * -e-x  dx

que dois-je calculer à partir de ceci  

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 15-04-21 à 21:28

Je vous ai fait une petite plaisanterie

I_2=\int^0_{-2} x^2\text{e}^{-x}\mathrm{d}x=\bigg[-x^2\text{e}^{-x}\bigg]_{-2}^0-\int^0_{-2} -2x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x


\int^0_{-2} -2x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x=-2\int^0_{-2} x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x

et le calcul de l'intégrale est celui de l'exercice précédent donc il n'y avait qu'à recopier   En général le calcul de la seconde est plus simple et ressemble à ce que vous avez calculé au début

Posté par
Nelcarre : intégration 85 16-04-21 à 08:54

Bonjour Hekla,

Hier trop fatiguée pour continuer à travailler.

ah . OK mais vous savez je suis déjà perdue comme ça.

vous voyez je ne sais pas comment faire pour la deuxième partie . Que dois-je calculer exactement ? (xe-x je dois chercher la dérivée soit -e-x  ?

MERCI

Posté par
Nelcarre : intégration 85 16-04-21 à 10:37

bonjour

ou alors j'ai trouvé aussi
1/2x²*-e-x

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 16-04-21 à 12:46

Bonjour Nelcar

Vous pouviez refaire ce que vous avez fait  à l'exercice précédent  ou reprendre le résultat

I_2=\int^0_{-2} x^2\text{e}^{-x}\mathrm{d}x=\bigg[-x^2\text{e}^{-x}\bigg]_{-2}^0-\int^0_{-2} -2x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x

je sors -2 de sous le signe somme

\int_{-2}^1 x^2\text{e}^{-x}\mathrm{d}x=\bigg[-x^2\text{e}^{-x}\bigg]_{-2}^0+2\int_{-2}^0x \text{e}^{-x}\mathrm{d}x}

On reconnaît  l'intégrale précédente   donc \int_{-2}^0x \text{e}^{-x}\mathrm{d}x}= -\text{e}^2-1

on revient à l'intégrale

[tex] \int_{-2}^1 x^2\text{e}^{-x}\mathrm{d}x=\bigg[-x^2\text{e}^{-x}\bigg]_{-2}^0+2(-\text{e}^2-1)=4\text{e}^2-2\text{e}^2-2=2\text{e}^2-2

ou on recommence à démontrer que  \int_{-2}^0x \text{e}^{-x}\mathrm{d}x}= -\text{e}^2-1

J'ai eu tort de vous les proposer.  Il faut pour la seconde,

soit penser à refaire une intégration par parties. Ce n'est pas uniquement  une méthode à n'utiliser qu'une fois
soit penser aux intégrales que vous avez déjà calculées.
Ce n'est pas parce qu'elle vient en second qu'elle diffère des intégrales simples que vous aviez calculées au début de cette leçon
recherche de primitives

Posté par
Nelcarre : intégration 85 16-04-21 à 13:35

bonjour Hekla,

vous voyez je n'arrive pas à faire xe-x

je dois refaire une intégration ?

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 16-04-21 à 13:55

Oui si vous voulez calculer \int_{-2}^0 x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x il faudra refaire une intégration par parties

Posté par
Nelcarre : intégration 85 16-04-21 à 18:33

ok

MERCI BEAUCOUP

Posté par
heklare : intégration 85 16-04-21 à 18:45

Désolé de vous avoir stressée sur cette intégrale

Posté par
Nelcarre : intégration 85 17-04-21 à 09:14

Bonjour Hekla,

pouvez-vous me donner un exemple à faire d'intégration par parties mais sans rapport avec celles que j'ai faites (pour voir si j'ai bien compris, dans mon livre je n'en ai plus)

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 17-04-21 à 10:33

Bonjour Nelcar

Vous avez bien compris le principe de l'intégration par parties. Je ne comprends pas trop pourquoi quand il faut intégrer l'autre partie ça bloque alors qu'en général elle est plus simple.

\int_1^{\text{e}} (2x+1)\ln (x+1)\mathrm{d}x

Uniquement si vous connaissez la dérivée de \tan x

\int_0^{\pi/4}\dfrac{x}{\cos^2x}\mathrm{d}x

\int_0^1 \dfrac{x}{\sqrt{x+2}}\mathrm{d}x

Posté par
Nelcarre : intégration 85 17-04-21 à 16:32

Premièrement non je n'ai pas vu la dérivée de tan x

pour la première intégrale je ne vois pas comment m'en sortir avec ln(x+1)
vous voyez je suis vite perdue.

pour la troisième u(x)= x+2  u'(x)= 1  forme u'/u
donc 2x+2 = 23 - 22

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 17-04-21 à 17:14

Pour la première, il me semble que vous en aviez fait une à peu près identique.

Ou vous connaissez une primitive de \ln (x+1) ou il faut commencer par faire une IPP

u'(x)=2x+1 \quad u(x)= \dfrac{1}{4}(2x+1)^2

v'(x)=\ln (x+1)  \quad v'(x)=\dfrac{1}{x+1}

\dfrac{(2x+1)^2}{x+1}=\dfrac{4x^2+4x+1}{x+1}= \dfrac{4x(x+1)+1}{x+1}

Dès que l'on sort un peu de l'ordinaire on a souvent des problèmes. Le calcul de la dérivée ne pose pas de problème, ce qui est loin d'être le cas avec les intégrales.

Avec l'indication que j'ai donnée, vous devriez vous en sortir


Pour la deuxième  (\tan x)'=1+\tan^2x =\dfrac{1}{\cos^2x} là aussi vous devriez maintenant pouvoir le faire


Pour la troisième

u(x)=x  et v'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}

on a bien pour v'  une expression de la forme  \dfrac{a'}{\sqrt{a}} avec a(x)= x+2

une primitive est donc 2\sqrt{x+2}  c'est bien ce que vous avez fait, mais uniquement pour v'  afin d'obtenir v(x)

Écrivez \sqrt{w}=w^{1/2} pour pouvoir utiliser les primitives de u^n soit \dfrac{1}{n+1}u^{n+1}


Bon courage




Posté par
Nelcarre : intégration 85 17-04-21 à 18:35

pour la troisième
u(x)= x  u(x)=1
v(x)=2x+2                 v'(x)=1/x+2

[x(2x+2)]10-102x+2  dx

mais je ne sais pas faire après

MERCI

Posté par
Nelcarre : intégration 85 17-04-21 à 18:45

JE VIENS d'essayer les deux autres, je n'y arrive pas

Je galère quand même et ça me fait peur

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 17-04-21 à 18:46

Je vous avais dit de considérer que vous aviez quelque chose de la forme u^n

\sqrt{x+2}=(x+2)^{1/2}

une primitive de u' u^n est \dfrac{1}{n+1}u^{n+1}

Posté par
heklare : intégration 85 17-04-21 à 19:18

\int_0^{\pi/4}\dfrac{x}{\cos^2x}\mathrm{d}x  

on pose u(x)=x \  u'(x)=1\ v'(x)=\dfrac{1}{\cos^2}\ v(x)=\tan x

\int_0^{\pi/4}\dfrac{x}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\big[x\tan x\big ]_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4}\tan x \mathrm{d}x

or \tan x =\dfrac{\sin x}{\cos x} ce qui est de la forme -\dfrac{u'}{u}

une primitive est alors -\ln \cos x

\int_0^{\pi/4}\dfrac{x}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\big[x\tan x\big ]_0^{\pi/4}-\big[-\ln \cos x\big]_0^{\pi/4}




\int_1^{\text{e}} (2x+1)\ln (x+1)\mathrm{d}x

u'(x)=2x+1 \quad u(x)= \dfrac{1}{4}(2x+1)^2

v'(x)=\ln (x+1)  \quad v'(x)=\dfrac{1}{x+1}

\int_1^{\text{e}} (2x+1)\ln (x+1)\mathrm{d}x=\left[\dfrac{1}{4}(2x+1)^2\ln (x+1)\right]_1^{\text{e}}-\int_1^{\text{e}} \dfrac{(2x+1)^2}{4(x+1)}

or \dfrac{(2x+1)^2}{x+1}=\dfrac{4x^2+4x+1}{x+1}= \dfrac{4x(x+1)+1}{x+1}=4x+\dfrac{1}{x+1}}

\int_1^{\text{e}} (2x+1)\ln (x+1)\mathrm{d}x=\left[\dfrac{1}{4}(2x+1)^2\ln (x+1)\right]_1^{\text{e}}-\dfrac{1}{4}\int\left(4x +\dfrac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x

Je vous laisse calculer cette intégrale   et uniquement icelle    on reprendra le problème après

Histoire de remonter un peu le moral car vous savez calculer certaines intégrales

Dans ce calcul il n'y a pas d'IPP N'allez pas chercher midi à quatorze heures

\int_1^{\text{e}} \left(4x +\dfrac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x

Posté par
Nelcarre : intégration 85 18-04-21 à 19:10

Bonjour Hekla,
je n'ai pu me connecter avant, désolée.

je ne sais pas calculer l'intégrale -1/4(4x+1/x+1) dx

|1/4(2x² ln(x+1)   ?


La dernière que vous m'avez mise :
e1(4x+1/x+1)   dx=[2x²+ln(x+1]e1= je ne trouve pas comme sur ma calculatrice

MERCI

Posté par
heklare : intégration 85 18-04-21 à 19:32

\int_1^{\text{e}} \left(4x +\dfrac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x

linéarité de l'intégrale quoiqu'on ne soit pas obligé de découper

\int_1^{\text{e}} 4x \mathrm{d}x+\int_1^{\text{e}}\dfrac{1}{x+1} \mathrm{d}x

Une primitive de 4x est  2x^2  une primitive de \dfrac{1}{x+1} est \ln (x+1)

donc \int_1^{\text{e}} \left(4x +\dfrac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x =\left[2x^2+\ln (x+1)\right]_1^{\text{e}}=2\text{e}^2+\ln (\text{e}+1)-2-\ln 2

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