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Intégration avec relation de récurrence
Bonjour à tous,
Je bloque sur une petite question et j'espère de tout coeur que vous allez pouvoir m'éclairer..., l'exercice est porté sur une intégrale noter Ik tel que
Ik(x) = somme de 0 à x de dt/(ch^k (t)
pour x réel et k entier naturel >0
J'ai déjà calculé I1(x) en passant par la forme exponentielle avec un changement de variable , je n'ai rencontré aucune difficulté, et j'ai calculé I2 grâce à th
Maintenant je suis bloqué pour établir une relation de récurrence entre Ik+2 et Ik . Je pensais qu'il fallait intégrer par parties comme les autres cas de récurrence que j'ai toujours fait mais je bloque vite
Merci d'avance pour votre aide et bon week end
Melle Papillon
Bonjour Melle Papillon
Peut-être en combinant la relation , (ou plutôt
) à une intégration par parties.
Kaiser
! RE bonjour
j'ai un peu avancé, j'ai étudier Ik, son sens de variation, j'ai même fait un joli Dl tout marchait bien jusqu'à ce qu'arrive la fameuse question...
J'ai montré que pour tout réel t 1/ch t <= 2e^(-t)
et je dois en déduire l'existence d'une limite pour Ik(x) quand x tend vers l'infini
alors je me suis dit qu'il fallait partir par
0<= 1/cht <= 2e^(-t)
puis mettre à la puissance k puis intégrer sauf que le côté droit n'est pas toujours positif suivant la valeur de k...donc mon raisonnement est faux....
Merci d'avance pour toute illumination
Melle Papillon
Euh.. le terme de droite est bien une exponentielle, donc c'est toujours positif (et même strictement),non ?
Ici, on cherche l'existence de la limite lorsque x tend vers , donc on peut supposer x strictement positif.
En intégrant, tu te retrouveras avec une quantité positive car tu intégre une fonction positive. Ainsi, après intégration, on obtient et ça c'est bien positif car x>0.
d'accord merci c'est ce que j'avais fait , mais j'avais pas le m^me domaine, je vais faire ça, encore merci !
juste une petite dernière question après je ne vous embête plus... si on note Jk l'intégrale somme de 0 en plus infini de dt/ ch^k(t)
comment doit on faire pour calculer Jk ?
dois je dire que ça tend vers 2/k mais je ne vois pas trop comment le montrer rigoureusement.... merci d'avance
Mais tu ne m'embêtes pas du tout ! 
Qu'est-ce qui te fais dire que l'integrale vaut ?
Est-ce dans l'énoncé ?
ah je crois que j'ai une idée, je prends ce que j'ai obtenu pour I1 et je prends la limite quand x tend vers + infini, de même pour I2 pour calculer J2 ( car je dois calculer J1 et J2)
Mais pour Jk comme je n'ai qu'une relation de récurrence, je pense que je dois l'utiliser mais là je bloque....
non ce n'est pas du tout dans l'énoncé c'est moi qui réflechit mais pas forcément très bien apparemment...
soit L cette limite
donc quand x tend vers linfini
L = L k/k+1 + sh x / (k+1)ch^k+1 (x) et ce dernier terme tend vers 0
donc
L(k+1-k/k+1) =0
non je ne vois pas k est fixé et L ne peut pas tendre vers 0 puisque la fonction est strictement croissante et J1 et J2 j'ai trouvé pi/2 et 1
ah il y a un truc qui doit m'échapper
ils auraient la même limite car j'ai montré " il existe une limite pour Ik(x) quand x tend vers + infini"
j'ai compris ma faute de raisonnement, Ik ce n'est pas Ik+2
suivant le k la limite change, autant pour moi...
oui mais si ils ont une limite différente je ne vois pas comment exploiter ma relation de récurrence... à part que L'= k/k+1 L lol ce qui ne mène pas à grand chose...
oui je vois ça donc L'= Jk+2 et L=Jk mais ça ne m'aide pas pour calculer Jk,
je sens bien qu'il y a un truc évident que je n'ai pas vu
Etant donné que la relation récurrence fonctionne de 2 en 2, il faut distinguer les cas selon la parité de k.
En effet, la relation précédente te dit que l'on a :
Dans le premier cas tu peux exprimer en fonction de , et dans le second, en fonction de
.
Est-ce plus clair ?
Kaiser
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